Dal punto di vista geometrico un integrale doppio della forma

\iint _D f(x,y) dxdy

può essere interpretato come il volume del solido ottenuto estendendo la regione di piano D fino al grafico della funzione z=f(x,y):

Volumetto infinitesimo

Il termine f(x,y)dxdy rappresenta, infatti, il volume del parallelepipedo infinitesimo avente area di base dxdy e altezza data da (z=f(x,y)). Con l’integrale doppio si sommano poi i volumi degli infiniti parallelepipedi infinitesimi.

Per calcolare un integrale doppio è, quindi, necessario che l’insieme di integrazione D sia misurabile. Ci concentreremo in particolare su tre eventualità:

  • D è rettangolare
  • D è un dominio normale
  • D è un dominio circolare

Vediamo le formule risolutive dell’integrale in queste tre casistiche.

1) D è di forma rettangolare

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : a\leq x \leq b, c \leq y \leq d  \}
Dominio di forma rettangolare

In questi casi la soluzione dell’integrale doppio è allora data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d \bigg(\int_a^b f(x,y)dx \bigg)dy =  \int_a^b \bigg(\int_c^d f(x,y)dy \bigg)dx

Esempio 1

Calcolare il seguente integrale doppio:

\iint_D(x^2+y)dxdy \ \ \ \ \ \text{con} \ \   D =\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x\in[1,2], y\in [0,1] \}

Svolgimento

Analizzando il dominio si vede che sia la x che la y sono compresi tra due numeri: il dominio è di tipo rettangolare.

Dominio di integrazione

Risolviamo l’integrale integrando prima rispetto alla variabile y e poi rispetto alla variabile x (avremmo potuto anche fare il contrario).

\begin{aligned}
&\int_1^2 \Bigg(\int_0^1(x^2+y)dy\Bigg)dx =\int_1^2\bigg( x^2y+\frac{y^2}{2} \bigg)\bigg|_0^1 dx = 
\int_1^2\bigg( x^2+\frac{1}{2} \bigg) dx =\bigg( \frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}x\bigg)\bigg|_1^2= \\ 
&=\frac{8}{3} +\frac{2}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{17}{6}
\end{aligned}

2) D è un dominio normale

2.1) Dominio normale rispetto all’asse x

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : a\leq x \leq b, g(x) \leq y \leq h(x) \}
Dominio normale rispetto a x (oppure y-semplice)

In questi casi la soluzione dell’integrale è data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b \bigg(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)dy \bigg)dx

2.2) Dominio normale rispetto all’asse y

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : c\leq y \leq d, g(y) \leq x \leq h(y) \}
Dominio normale rispetto a y (oppure x-semplice)

In questi casi la soluzione dell’integrale è data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d \bigg(\int_{g(y)}^{h(y)} f(x,y)dx \bigg)dy

Esempio 2

Calcolare il seguente integrale doppio:

\iint_D(x+1)ydxdy \ \ \ \ \ \text{con} \ \   D =\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x\in[0,3], 0 \leq y \leq x^2 \}

Svolgimento

Analizzando il dominio si vede che sia la x varia tra due numeri e la y tra due funzioni di x: il dominio è normale rispetto a x.

Dominio di integrazione

Risolviamo l’integrale integrando prima rispetto alla variabile y (cioè quella che varia tra le due funzioni) e poi rispetto alla variabile x.

\begin{aligned}
&\int_0^3 \Bigg(\int_0^{x^2}(x+1)ydy\Bigg)dx =
\int_0^3 (x+1) \frac{y^2}{2}\bigg|_0^{x^2} dx = 
\int_0^3 (x+1)\frac{x^4}{2}dx = \\
& =\frac{1}{2} \int_0^3\big(x^5+x^4 \big)dx =
\frac{1}{2}\bigg( \frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\bigg)\bigg|_0^3=
\frac{1}{2}\bigg( \frac{3^6}{3\cdot 2}+\frac{3^5}{5}\bigg)=
\frac{1}{2}\bigg( \frac{3^5}{2}+\frac{3^5}{5}\bigg)= \\
&=\frac{1687}{20}
\end{aligned}

3) D è un dominio circolare

Dominio circolare

In questi casi può essere vantaggioso risolvere l’integrale utilizzando le coordinate polari di centro (x_0, y_0):

\begin{cases}x=x_0 + \rho\cos \theta\\y=y_0+\rho \sin \theta\end{cases}

Ovviamente si ha che:

(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2.

Quando si passa dalle coordinate cartesiane x, \ y alle coordinate polari \rho, \ \theta bisogna tenere conto del cambio di misura dell’area infinitesima dxdy:

dxdy=\rho d\rho d\theta

con \rho = |Det \ \mathbf{J}| (Modulo del determinante della matrice Jacobiana).

L’integrale riscritto in coordinate polari diventa:

\iint_{D_{\rho,\theta}}f(x_0 + \rho\cos \theta, y_0 + \rho\sin \theta)\rho d\rho d\theta

Esempio 3

Calcolare il seguente integrale doppio:

\iint_Dxdxdy \ \ \ \ \ \text{con} \ \   D =\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x\geq0, x^2+y^2\leq 1 \}

Svolgimento

Analizzando il dominio si vede che si tratta del semicerchio centrato nell’origine e di raggio 1: un dominio circolare

Dominio di integrazione

Risolviamo l’integrale utilizzando le coordinate polari di centro l’origine:

\begin{cases}
x=\rho\cos (\theta) \\ 
y = \rho \sin (\theta)
\end{cases} \ \ \  \text{con} \ \ \rho \in [0,1],  \ \theta \in \Big[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\Big], \ \ |\det \mathbf J|=\rho \ \ \text{e} \ \ x^2+y^2=\rho^2

Sostituendo nell’integrale otteniamo:

\begin{aligned}
&\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \Bigg(\int_0^1   \rho\cos \theta\cdot  \rho d\rho\Bigg)d\theta =\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \Bigg(\int_0^1   \rho^2\cos \theta d\rho\Bigg)d\theta = 
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos \theta d\theta \int_0^1   \rho^2 d\rho = \\ \\
& = \sin \theta\bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cdot \frac{\rho^3}{3}\bigg|_0^1 =
(1-(-1))\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}
\end{aligned}

Osservazione 1

Dall’interpretazione geometrica dell’integrale doppio segue che

\iint_D 1 \ dxdy   

rappresenta l’area della regione D, dal momento che

Volume = Area \ base \times Altezza = Area \ D \times 1 = Area \ D

Osservazione 2

Se f(x,y) è dispari rispetto a y e il dominio è simmetrico rispetto a x, si ha che

\iint_D f(x,y) \ dxdy =0.  

Lo stesso accade se f(x,y) è dispari rispetto a x e il dominio è simmetrico rispetto a y.

Osservazione 2.1

f(x,y) è dispari rispetto a x se f(-x,y)=-f(x,y);

f(x,y) è dispari rispetto a y se f(x,-y)=-f(x,y);

Funzione dispari rispetto a y (a sinistra) e rispetto a x (a destra)

L’integrale doppio è nullo perchè il “Volume negativo” è uguale al “Volume positivo” cosicché la loro somma è zero.


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