Integrali doppi: interpretazione geometrica e formule risolutive

Dal punto di vista geometrico un integrale doppio della forma

\iint _D f(x,y) dxdy

può essere interpretato come il volume del solido ottenuto estendendo la regione di piano D fino al grafico della funzione $z=f(x,y)$ :

Il termine $f(x,y)dxdy$ rappresenta, infatti, il volume del parallelepipedo infinitesimo avente area di base $dxdy$ e altezza data da ( $z=f(x,y)$ ). Con l’integrale doppio si sommano poi i volumi degli infiniti parallelepipedi infinitesimi.

Per calcolare un integrale doppio è, quindi, necessario che l’insieme di integrazione D sia misurabile. Ci concentreremo in particolare su tre eventualità:

D è rettangolare
D è un dominio normale
D è un dominio circolare

Vediamo le formule risolutive dell’integrale in queste tre casistiche.

1) D è di forma rettangolare

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : a\leq x \leq b, c \leq y \leq d \}

In questi casi la soluzione dell’integrale doppio è allora data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d \bigg(\int_a^b f(x,y)dx \bigg)dy = \int_a^b \bigg(\int_c^d f(x,y)dy \bigg)dx

Esempio 1

Calcolare il seguente integrale doppio:

\iint_D(x^2+y)dxdy \ \ \ \ \ \text{con} \ \ D =\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x\in[1,2], y\in [0,1] \}

Svolgimento

Analizzando il dominio si vede che sia la $x$ che la $y$ sono compresi tra due numeri: il dominio è di tipo rettangolare.

Risolviamo l’integrale integrando prima rispetto alla variabile $y$ e poi rispetto alla variabile $x$ (avremmo potuto anche fare il contrario).

\begin{aligned} &\int_1^2 \Bigg(\int_0^1(x^2+y)dy\Bigg)dx =\int_1^2\bigg( x^2y+\frac{y^2}{2} \bigg)\bigg|_0^1 dx = \int_1^2\bigg( x^2+\frac{1}{2} \bigg) dx =\bigg( \frac{x^3}{3}+\frac{1}{2}x\bigg)\bigg|_1^2= \\ &=\frac{8}{3} +\frac{2}{2}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{17}{6} \end{aligned}

2) D è un dominio normale

2.1) Dominio normale rispetto all’asse x

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : a\leq x \leq b, g(x) \leq y \leq h(x) \}

Dominio normale rispetto a x (oppure y-semplice)

In questi casi la soluzione dell’integrale è data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_a^b \bigg(\int_{g(x)}^{h(x)} f(x,y)dy \bigg)dx

2.2) Dominio normale rispetto all’asse y

D=\{ (x,y)\in \mathbb R^2 : c\leq y \leq d, g(y) \leq x \leq h(y) \}

Dominio normale rispetto a y (oppure x-semplice)

In questi casi la soluzione dell’integrale è data da:

\iint_D f(x,y)dxdy = \int_c^d \bigg(\int_{g(y)}^{h(y)} f(x,y)dx \bigg)dy

Esempio 2

Calcolare il seguente integrale doppio:

\iint_D(x+1)ydxdy \ \ \ \ \ \text{con} \ \ D =\{(x,y)\in \mathbb{R^2} : x\in[0,3], 0 \leq y \leq x^2 \}

Svolgimento

Analizzando il dominio si vede che sia la $x$ varia tra due numeri e la $y$ tra due funzioni di $x$ : il dominio è normale rispetto a $x$ .

Risolviamo l’integrale integrando prima rispetto alla variabile $y$ (cioè quella che varia tra le due funzioni) e poi rispetto alla variabile $x$ .

\begin{aligned} &\int_0^3 \Bigg(\int_0^{x^2}(x+1)ydy\Bigg)dx = \int_0^3 (x+1) \frac{y^2}{2}\bigg|_0^{x^2} dx = \int_0^3 (x+1)\frac{x^4}{2}dx = \\ & =\frac{1}{2} \int_0^3\big(x^5+x^4 \big)dx = \frac{1}{2}\bigg( \frac{x^6}{6}+\frac{x^5}{5}\bigg)\bigg|_0^3= \frac{1}{2}\bigg( \frac{3^6}{3\cdot 2}+\frac{3^5}{5}\bigg)= \frac{1}{2}\bigg( \frac{3^5}{2}+\frac{3^5}{5}\bigg)= \\ &=\frac{1687}{20} \end{aligned}

3) D è un dominio circolare

In questi casi può essere vantaggioso risolvere l’integrale utilizzando le coordinate polari di centro $(x_0, y_0)$ :

$\begin{cases}x=x_0 + \rho\cos \theta\\y=y_0+\rho \sin \theta\end{cases}$

Ovviamente si ha che:

$(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=\rho^2$ .

Quando si passa dalle coordinate cartesiane $x, \ y$ alle coordinate polari $\rho, \ \theta$ bisogna tenere conto del cambio di misura dell’area infinitesima $dxdy$ :