Analisi Matematica 2 · Integrali multipli

Integrali doppi: due esercizi svolti

In questi due esercizi vediamo come impostare e calcolare un integrale doppio a partire dalla descrizione del dominio di integrazione. Una particolare attenzione sarà dedicata alla rappresentazione geometrica del dominio e alla scelta degli estremi di integrazione.

Livello: universitario Analisi Matematica 2 Integrali doppi 2 esercizi svolti

Esercizio 1

Testo dell’esercizio

Calcolare

$\displaystyle \iint_A \left(6x^2y+\ln x\right)\,dx\,dy,$

dove

$\displaystyle A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \;\middle|\; 1\leq x\leq e, \quad 0\leq y\leq x \right\}.$

Svolgimento

Disegniamo innanzitutto il dominio di integrazione.

Il dominio è già scritto in forma normale:

$\displaystyle 1\leq x\leq e, \qquad 0\leq y\leq x.$

Fissato un valore di $x$ compreso tra $1$ ed $e$ , la variabile $y$ varia quindi da $0$ a $x$ .

Possiamo pertanto applicare il teorema di Fubini e scrivere l’integrale doppio come un integrale iterato:

$\displaystyle \iint_A \left(6x^2y+\ln x\right)\,dx\,dy = \int_1^e \left[ \int_0^x \left(6x^2y+\ln x\right)\,dy \right]dx.$

Calcolo dell’integrale interno

Nell’integrale interno integriamo rispetto a $y$ , considerando quindi $x$ come una costante.

$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^x \left(6x^2y+\ln x\right)\,dy &= \left[ 6x^2\frac{y^2}{2} +y\ln x \right]_0^x \\[4pt] &= 3x^2x^2+x\ln x \\[4pt] &= 3x^4+x\ln x. \end{aligned}$

Di conseguenza,

$\displaystyle \iint_A \left(6x^2y+\ln x\right)\,dx\,dy = \int_1^e \left(3x^4+x\ln x\right)\,dx.$

Formula da ricordare

Integrazione per parti

$\displaystyle \int g'(x)f(x)\,dx = g(x)f(x) - \int g(x)f'(x)\,dx.$

Per integrare il termine $x\ln x$ utilizziamo quindi la formula di integrazione per parti scegliendo

$\displaystyle g'(x)=x, \qquad g(x)=\frac{x^2}{2}, \qquad f(x)=\ln x, \qquad f'(x)=\frac1x.$

Calcolo dell’integrale esterno

$\displaystyle \begin{aligned} \int_1^e \left(3x^4+x\ln x\right)\,dx &= \left. \frac{3x^5}{5} \right|_1^e + \left. \frac{x^2}{2}\ln x \right|_1^e - \int_1^e \frac{x^2}{2}\frac1x\,dx \\[6pt] &= \frac35(e^5-1) + \left( \frac{e^2}{2}\ln e - \frac12\ln1 \right) - \int_1^e\frac{x}{2}\,dx \\[6pt] &= \frac35(e^5-1) + \frac{e^2}{2} - \left. \frac{x^2}{4} \right|_1^e \\[6pt] &= \frac35(e^5-1) + \frac{e^2}{2} - \frac14(e^2-1) \\[6pt] &= \frac35e^5 -\frac35 +\frac{e^2}{2} -\frac{e^2}{4} +\frac14 \\[6pt] &= \frac35e^5 + \frac14e^2 - \frac7{20}. \end{aligned}$

$\displaystyle \boxed{ \iint_A \left(6x^2y+\ln x\right)\,dx\,dy = \frac35e^5+\frac14e^2-\frac7{20} }.$

Esercizio 2

Testo dell’esercizio

Calcolare

$\displaystyle \iint_A(x+y)\,dx\,dy,$

dove

$\displaystyle A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \;\middle|\; y\leq x\leq\sqrt{1-y^2}, \quad y\geq0 \right\}.$

Svolgimento

In questo caso la prima difficoltà consiste nel comprendere geometricamente il dominio di integrazione.

La curva

$\displaystyle x=\sqrt{1-y^2}$

può essere riscritta come

$\displaystyle x^2=1-y^2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x^2+y^2=1.$

Poiché nella relazione originale compare la radice quadrata positiva, abbiamo necessariamente $x\geq0$ . La curva rappresenta quindi la semicirconferenza destra della circonferenza unitaria.

Determinazione del punto di intersezione

Per determinare l’estremo superiore della variabile $y$ dobbiamo calcolare le coordinate del punto $P$ in cui la retta $x=y$ interseca la circonferenza.

Nel punto $P$ devono essere contemporaneamente soddisfatte le due equazioni

$\displaystyle \begin{cases} x=y,\\[3pt] x=\sqrt{1-y^2}. \end{cases}$

Sostituendo $x=y$ nella seconda equazione otteniamo

$\displaystyle y=\sqrt{1-y^2} \quad\Longrightarrow\quad y^2=1-y^2 \quad\Longrightarrow\quad 2y^2=1 \quad\Longrightarrow\quad y^2=\frac12.$

Poiché il dominio è contenuto nel semipiano $y\geq0$ , dobbiamo scegliere la radice positiva:

$\displaystyle y_P=\frac1{\sqrt2}.$

Descrizione del dominio

Il dominio può quindi essere scritto nella forma

$\displaystyle A= \left\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 \;\middle|\; 0\leq y\leq\frac1{\sqrt2}, \quad y\leq x\leq\sqrt{1-y^2} \right\}.$

Per ogni valore fissato di $y$ , il segmento orizzontale appartenente al dominio parte quindi dalla retta $x=y$ e termina sulla semicirconferenza $x=\sqrt{1-y^2}$ .

Impostazione dell’integrale doppio

Possiamo ora applicare il teorema di Fubini:

$\displaystyle \begin{aligned} \iint_A(x+y)\,dx\,dy &= \int_0^{1/\sqrt2} \left[ \int_y^{\sqrt{1-y^2}} (x+y)\,dx \right]dy \\[6pt] &= \int_0^{1/\sqrt2} \left[ \frac{x^2}{2}+yx \right]_{x=y}^{x=\sqrt{1-y^2}} dy. \end{aligned}$

Sostituendo i due estremi di integrazione rispetto a $x$ ,

$\displaystyle \begin{aligned} \iint_A(x+y)\,dx\,dy &= \int_0^{1/\sqrt2} \left[ \frac{1-y^2}{2} + y\sqrt{1-y^2} - \left( \frac{y^2}{2}+y^2 \right) \right]dy \\[6pt] &= \int_0^{1/\sqrt2} \left( \frac12 -2y^2 +y\sqrt{1-y^2} \right)dy. \end{aligned}$

Il termine con la radice

Per integrare il termine $y\sqrt{1-y^2}$ osserviamo che

$\displaystyle y\sqrt{1-y^2} = -\frac12 \underbrace{(-2y)}_{f'(y)} \underbrace{(1-y^2)^{1/2}}_{f(y)^\alpha}.$

Abbiamo semplicemente moltiplicato e diviso per $-2$ . Possiamo quindi utilizzare la formula

Formula da ricordare

$\displaystyle \int f'(x)\,f(x)^\alpha\,dx = \frac{f(x)^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C, \qquad \alpha\neq-1.$

Pertanto

$\displaystyle \int_0^{1/\sqrt2} \left( \frac12 -2y^2 +y\sqrt{1-y^2} \right)dy = \left[ \frac y2 -\frac23y^3 -\frac13(1-y^2)^{3/2} \right]_0^{1/\sqrt2}.$

Sostituzione degli estremi

$\displaystyle \begin{aligned} & \left[ \frac y2 -\frac23y^3 -\frac13(1-y^2)^{3/2} \right]_0^{1/\sqrt2} \\[6pt] &= \frac1{2\sqrt2} - \frac23 \left(\frac1{\sqrt2}\right)^3 - \frac13 \left[ \left(1-\frac12\right)^{3/2} - 1 \right] \\[6pt] &= \frac1{2\sqrt2} - \frac1{3\sqrt2} - \frac13 \left( \frac1{2\sqrt2}-1 \right) \\[6pt] &= \frac1{2\sqrt2} - \frac1{3\sqrt2} - \frac1{6\sqrt2} + \frac13 \\[6pt] &= \frac13. \end{aligned}$

$\displaystyle \boxed{ \iint_A(x+y)\,dx\,dy = \frac13 }.$

Ricorda

Per una potenza con esponente razionale vale

$\displaystyle a^{\frac bc} = \sqrt[c]{a^b}.$

In particolare,

$\displaystyle \left(\frac12\right)^{3/2} = \sqrt{ \left(\frac12\right)^3 } = \frac1{2\sqrt2}.$

Risultati

Esercizio 1

Sul dominio $1\leq x\leq e$ , $0\leq y\leq x$ , si ottiene

$\displaystyle \iint_A \left(6x^2y+\ln x\right)\,dx\,dy = \frac35e^5 + \frac14e^2 - \frac7{20}.$

Esercizio 2

Sul dominio delimitato dalla retta $x=y$ e dalla semicirconferenza $x=\sqrt{1-y^2}$ ,

$\displaystyle \iint_A(x+y)\,dx\,dy = \frac13.$

Idea chiave

Negli integrali doppi, prima ancora di iniziare i calcoli, è fondamentale comprendere e rappresentare il dominio. Gli estremi dell’integrale iterato devono infatti descrivere esattamente la regione sulla quale stiamo integrando.

Nel secondo esercizio, ad esempio, il calcolo del punto di intersezione tra la retta e la circonferenza è proprio ciò che permette di determinare l’intervallo $0\leq y\leq1/\sqrt2$ .

Due esercizi completati. Il passaggio fondamentale è sempre lo stesso: rappresentare il dominio, individuare correttamente gli estremi e soltanto dopo impostare l’integrale iterato.
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Esercizi Integrali Doppi

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Marzo 10, 2023

Integrali doppi: due esercizi svolti

Esercizio 1

Esercizio 2

Risultati

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