Simulazione interattiva: il moto parabolico

Questa simulazione permette di studiare il moto di un grave lanciato con una velocità iniziale obliqua, trascurando la resistenza dell’aria e assumendo costante l’accelerazione di gravità.

Il corpo viene lanciato da una quota iniziale $y_0$ con una velocità di modulo $v_0$ , inclinata di un angolo $\theta$ rispetto all’asse orizzontale.

Durante il moto l’unica forza agente sul corpo è la forza peso e di conseguenza, l’accelerazione è nulla lungo la direzione orizzontale e costante lungo quella verticale:

a_x=0, \qquad a_y=-g,

dove $g \simeq 9{,}81,\mathrm{m/s^2}$ è il modulo dell’accelerazione di gravità.

La velocità iniziale può essere scomposta nelle due componenti:

v_{0x}=v_0\cos\theta, \qquad v_{0y}=v_0\sin\theta

e il moto può essere studiato come la sovrapposizione di due moti indipendenti: un moto rettilineo uniforme lungo l’asse $x$ e un moto uniformemente accelerato lungo l’asse $y$ .

Moto lungo l’asse x

Lungo la direzione orizzontale l’accelerazione è nulla. Assumendo che il punto di lancio si trovi sull’asse $y$ , e quindi che $x_0=0$ , si ha:

a_x(t)=0, \qquad v_x(t)=v_0\cos\theta , \qquad x(t)=v_0\cos(\theta)t.

Notiamo che la componente orizzontale della velocità rimane quindi costante per tutta la durata del moto.

Moto lungo l’asse y

Lungo la direzione verticale il corpo è invece sottoposto all’accelerazione di gravità:

a_y(t)=-g, \qquad v_y(t)=v_0\sin\theta-gt, \qquad y(t)=y_0+v_0\sin\theta,t-\dfrac{1}{2}gt^2.

Durante la fase iniziale del moto, assumendo $v_0\sin\theta>0$ , il corpo sale mentre la componente verticale della velocità diminuisce progressivamente (a causa dell’accelerazione di gravità che è opposta al moto). Nel punto più alto della traiettoria si ha

v_y=0.

Successivamente $v_y$ diventa negativa e il corpo inizia la fase di discesa (accelerando a causa dell’accelerazione di gravità).

Altezza massima

L’altezza massima viene raggiunta nell’istante in cui la componente verticale della velocità si annulla:

v_y(t)=0.

Rispetto al suolo il suo valore è

y_{\max}=y_0+\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}.

La quantità

\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}

rappresenta l’aumento di quota massimo che si ottiene rispetto al punto di lancio.

Tempo di volo

Il tempo di volo, o tempo di durata del moto, è il tempo necessario affinché il corpo raggiunga il suolo.

Ponendo $y(t)=0$ si ottiene:

y_0+v_0\sin(\theta)\,t-\frac{1}{2}gt^2=0.

La soluzione fisicamente significativa, cioè quella positiva, è

t_v= \frac{ v_0\sin\theta+ \sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gy_0} }{g}.

Nel caso particolare in cui il lancio avvenga dal livello del suolo, cioè $y_0=0$ , la formula si riduce a

t_v=\frac{2v_0\sin\theta}{g}.

Gittata

La gittata è la distanza orizzontale percorsa dal corpo tra il punto di lancio e il punto in cui raggiunge il suolo.

Poiché il moto orizzontale è uniforme, si ha

x_{max}=v_0\cos(\theta)\,t_v.

Sostituendo l’espressione del tempo di volo:

x_{max}= \frac{v_0\cos\theta}{g} \left( v_0\sin\theta+ \sqrt{v_0^2\sin^2\theta+2gy_0} \right).

Se il punto di lancio si trova al livello del suolo, $y_0=0$ , si ottiene la nota relazione

x_{max}=\frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}.

La simulazione consente di modificare la quota iniziale $y_0$ , il modulo della velocità iniziale $v_0$ e l’angolo di lancio $\theta$ , osservando contemporaneamente il moto del corpo e le sue proiezioni lungo gli assi $x$ e $y$ .

In questo modo è possibile visualizzare direttamente come il moto parabolico nasca dalla combinazione di un moto rettilineo uniforme in direzione orizzontale e di un moto uniformemente accelerato in direzione verticale, nonché osservare come i parametri iniziali influenzino altezza massima, gittata e tempo di volo.

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