Analisi Matematica 2 · Funzioni di più variabili

Continuità, derivabilità e differenziabilità

In questa lezione raccogliamo le principali definizioni e formule relative alla continuità, alla derivabilità e alla differenziabilità delle funzioni di più variabili. Introdurremo inoltre il gradiente, le derivate direzionali e l’equazione del piano tangente.

Livello: universitario Analisi Matematica 2 Lezione 1 Funzioni di più variabili

Continuità

Sia

$\displaystyle f:A\subseteq\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}.$

Definizione

Continuità in un punto

La funzione $f$ è continua nel punto $(x_0,y_0)\in A$ se

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)} f(x,y) = f(x_0,y_0).$

Osservazione

Ogni funzione elementare è continua nel proprio dominio.

Derivabilità

Sia

$\displaystyle f:A\subseteq\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}.$

Diciamo che $f$ è derivabile nel punto $(x_0,y_0)$ se esistono finite le due derivate parziali.

Derivata parziale rispetto a x

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) = \lim_{h\to0} \frac{ f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0) }{h}.$

Derivata parziale rispetto a y

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) = \lim_{k\to0} \frac{ f(x_0,y_0+k)-f(x_0,y_0) }{k}.$

In particolare, $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$ è la derivata parziale rispetto a $x$ , mentre $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$ è la derivata parziale rispetto a $y$ .

Osservazione

La derivabilità non implica la continuità.

Infatti, l’esistenza delle derivate parziali $\displaystyle f_x(x_0,y_0)$ e $\displaystyle f_y(x_0,y_0)$ riguarda il comportamento della funzione soltanto lungo le direzioni degli assi coordinati e non è sufficiente, in generale, a garantire la continuità della funzione nel punto.

$\displaystyle f\text{ derivabile in }(x_0,y_0) \;\not\Longrightarrow\; f\text{ continua in }(x_0,y_0).$

Gradiente

Definiamo gradiente di $f$ nel punto $(x_0,y_0)$ il vettore formato dalle due derivate parziali calcolate nel punto.

Definizione

Gradiente

$\displaystyle \nabla f(x_0,y_0) = \begin{pmatrix} \dfrac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) \\[3mm] \dfrac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) \end{pmatrix}.$

Derivata direzionale

Sia

$\displaystyle \mathbf v = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}$

un vettore di norma unitaria, cioè

$\displaystyle \|\mathbf v\| = \sqrt{v_1^2+v_2^2} = 1.$

Definizione

Derivata direzionale

Definiamo derivata direzionale lungo il versore $\mathbf v$ nel punto $(x_0,y_0)$ il limite

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\mathbf v}(x_0,y_0) = \lim_{t\to0} \frac{ f(x_0+t v_1,y_0+t v_2)-f(x_0,y_0) }{t},$

purché tale limite esista finito.

Attenzione

Nella definizione precedente il vettore $\mathbf v$ deve avere norma $1$ . Se viene assegnato un vettore non unitario, bisogna prima normalizzarlo:

$\displaystyle \mathbf v^{*} = \frac{\mathbf v}{\|\mathbf v\|}.$

Differenziabilità

Sia

$\displaystyle f:A\subseteq\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}, \qquad (x_0,y_0)\in A.$

Definizione

Differenziabilità

La funzione $f$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$ se

$\displaystyle \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{ f(x_0+h,y_0+k) -f(x_0,y_0) -f_x(x_0,y_0)h -f_y(x_0,y_0)k }{ \sqrt{h^2+k^2} } = 0.$

Interpretazione

La differenziabilità significa che, vicino a $(x_0,y_0)$ , l’incremento della funzione può essere approssimato mediante la sua parte lineare:

$\displaystyle f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0) \approx f_x(x_0,y_0)h + f_y(x_0,y_0)k.$

Piano tangente

Osservazione

Se $f$ è differenziabile in $(x_0,y_0)$ , allora il grafico della funzione ammette un piano tangente nel punto

$\displaystyle \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr).$

La sua equazione è

$\displaystyle z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)(x-x_0) + f_y(x_0,y_0)(y-y_0).$

Una condizione sufficiente per la differenziabilità

Verificare direttamente la definizione di differenziabilità può essere laborioso. Un risultato fondamentale fornisce una condizione sufficiente molto più semplice da controllare.

Teorema della differenziabilità totale

$\displaystyle f\in C^1(A),$

cioè se $f$ possiede derivate parziali continue, allora $f$ è differenziabile in $A$ .

Da ricordare

La condizione $f\in C^1$ è una condizione sufficiente per la differenziabilità, non una condizione necessaria.

Derivata direzionale e gradiente

Se $f$ è differenziabile nel punto $(x_0,y_0)$ , allora la derivata direzionale esiste lungo ogni versore

$\displaystyle \mathbf v = \begin{pmatrix} v_1\\ v_2 \end{pmatrix}, \qquad \|\mathbf v\|=1.$

Formula della derivata direzionale

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\mathbf v}(x_0,y_0) = \left\langle \nabla f(x_0,y_0), \mathbf v \right\rangle.$

Il simbolo $\langle\cdot,\cdot\rangle$ indica il prodotto scalare.

Scrivendo esplicitamente gradiente e versore,

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\mathbf v}(x_0,y_0) = f_x(x_0,y_0)v_1 + f_y(x_0,y_0)v_2.$

Conseguenza

Se sappiamo già che la funzione è differenziabile, non è necessario calcolare ogni derivata direzionale mediante la definizione con il limite: possiamo utilizzare direttamente il prodotto scalare con il gradiente.

Relazioni tra differenziabilità, continuità e derivabilità

I tre concetti non sono indipendenti.

Implicazione fondamentale

Se $f$ è differenziabile in un punto, allora è anche continua e derivabile nello stesso punto.

$\displaystyle f\text{ differenziabile} \quad\Longrightarrow\quad f\text{ continua e derivabile}.$

Attenzione al viceversa

Il viceversa, in generale, non è vero. Una funzione può essere continua e possedere le derivate parziali in un punto senza essere differenziabile in quel punto.

Possiamo quindi riassumere una parte delle relazioni viste mediante lo schema

$\displaystyle f\in C^1 \quad\Longrightarrow\quad f\text{ differenziabile} \quad\Longrightarrow\quad \begin{cases} f\text{ continua},\\ f\text{ derivabile}. \end{cases}$

Inoltre, se $f$ è differenziabile, esistono tutte le derivate direzionali e vale

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\mathbf v} = \langle\nabla f,\mathbf v\rangle.$

Riepilogo

Continuità

$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) = f(x_0,y_0)$

Gradiente

$\displaystyle \nabla f = \begin{pmatrix} f_x\\ f_y \end{pmatrix}$

Derivata direzionale

$\displaystyle \frac{\partial f}{\partial\mathbf v} = \langle\nabla f,\mathbf v\rangle$

Differenziabilità

$\displaystyle \frac{ f(x_0+h,y_0+k) -f(x_0,y_0) -f_xh-f_yk }{ \sqrt{h^2+k^2} } \longrightarrow0$

Piano tangente

$\displaystyle z = f(x_0,y_0) + f_x(x_0,y_0)\Delta x + f_y(x_0,y_0)\Delta y$

Condizione sufficiente

$\displaystyle f\in C^1 \Longrightarrow f\text{ differenziabile}$

Continuità, Derivabilità e Differenziabilità

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Giugno 25, 2020

Continuità, derivabilità e differenziabilità

Continuità

Derivabilità

Gradiente

Derivata direzionale

Differenziabilità

Piano tangente

Una condizione sufficiente per la differenziabilità

Derivata direzionale e gradiente

Relazioni tra differenziabilità, continuità e derivabilità

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