Studiando alcuni argomenti di matematica, come ad esempio i campi vettoriali, campita di dover studiare alcune proprietà degli insiemi.

In questo articolo ci soffermeremo sulla connessione (semplice o meno) di un insieme.

Insiemi connessi (per archi)

Un insieme aperto A\subseteq \mathbb{R}^n si dice connesso (per archi) se presi in A due punti qualsiasi X_1 e X_2 esiste una poligonale che li congiunge interamente contenuta in A.

Insieme connesso

Esempi

  • In \mathbb{R} gli unici insiemi connessi sono gli intervalli aperti
  • In \mathbb{R}^n ogni insieme aperto convesso è anche connesso
  • L’insieme \{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y>\frac{1}{x}\} non è connesso:

Insiemi semplicemente connessi

Un insieme aperto \Omega \subseteq \mathbb{R}^n si dice semplicemente connesso se il sostegno \Gamma di ogni arco contenuto in \Omega può essere deformato con continuità fino a diventare un punto, rimanendo sempre all’interno dell’insieme \Omega.

Una definizione equivalente può essere:

un insieme \Omega \subseteq \mathbb{R}^n si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta al suo interno può essere deformata con continuità fino a diventare un punto.

Ad esempio, nell’immagine che segue, si ha che D_1 è un insieme semplicemente connesso in quanto ogni curva chiusa al suo interno può essere deformata fino a diventare un punto (analogamente a ciò che avviene stringendo un cappio); l’insieme D_2 non è semplicemente connesso perché una curva chiusa che circonda il buco può essere “ristretta” fino al bordo del buco e non oltre (non riesce a diventare un punto).

Insieme semplicemente connesso e non

Ancora potremmo usare la seguente definizione:

un insieme \Omega \subseteq \mathbb{R}^n si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa \gamma contenuta al suo interno è omotopa a un punto.

La definizione precedente deriva dal fatto che chiamiamo omotopia la funzione che permette di passare dalla curva iniziale al punto.

Supponiamo, infatti, di avere una famiglia di curve chiuse \gamma_s : I \to \mathbb{R}^n con 0 \leq s \leq 1 e che la curva \gamma appartenga a tale famiglia in modo che valga \gamma = \gamma_1. Assunto che:

  • la funzione (t,s) \mapsto \gamma_s(t) definita da \gamma_s : I \times [0,1] \to \mathbb{R}^n è continua (tale funzione è quella che associa l’s-esimo elemento della famiglia alla curva \gamma_s(t))
  • il sostegno \Gamma_s = \gamma_s(I) di ogni curva è contenuto in \Omega
  • \gamma_0 è costante (ossia il suo sostegno è un punto)

l’omotopia è proprio la funzione (t,s) \mapsto \gamma_s(t) e la curva \gamma viene detta essere omotopa a un punto.

Osservazione 1

Un insieme semplicemente connesso privato di una retta continua ad essere semplicemente connesso in quanto può essere considerato unione di due insiemi semplicemente connessi.

Insieme semplicemente connesso privato di una retta

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