Insiemi connessi

Studiando alcuni argomenti di matematica, come ad esempio i campi vettoriali, campita di dover studiare alcune proprietà degli insiemi.

In questo articolo ci soffermeremo sulla connessione (semplice o meno) di un insieme.

Insiemi connessi (per archi)

Un insieme aperto $A\subseteq \mathbb{R}^n$ si dice connesso (per archi) se presi in $A$ due punti qualsiasi $X_1$ e $X_2$ esiste una poligonale che li congiunge interamente contenuta in $A$ .

Esempi

In $\mathbb{R}$ gli unici insiemi connessi sono gli intervalli aperti
In $\mathbb{R}^n$ ogni insieme aperto convesso è anche connesso
L’insieme $\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:y>\frac{1}{x}\}$ non è connesso:

Insiemi semplicemente connessi

Un insieme aperto $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ si dice semplicemente connesso se il sostegno $\Gamma$ di ogni arco contenuto in $\Omega$ può essere deformato con continuità fino a diventare un punto, rimanendo sempre all’interno dell’insieme $\Omega$ .

Una definizione equivalente può essere:

un insieme $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa contenuta al suo interno può essere deformata con continuità fino a diventare un punto.

Ad esempio, nell’immagine che segue, si ha che $D_1$ è un insieme semplicemente connesso in quanto ogni curva chiusa al suo interno può essere deformata fino a diventare un punto (analogamente a ciò che avviene stringendo un cappio); l’insieme $D_2$ non è semplicemente connesso perché una curva chiusa che circonda il buco può essere “ristretta” fino al bordo del buco e non oltre (non riesce a diventare un punto).

Ancora potremmo usare la seguente definizione:

un insieme $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ si dice semplicemente connesso se ogni curva chiusa $\gamma$ contenuta al suo interno è omotopa a un punto.

La definizione precedente deriva dal fatto che chiamiamo omotopia la funzione che permette di passare dalla curva iniziale al punto.

Supponiamo, infatti, di avere una famiglia di curve chiuse $\gamma_s : I \to \mathbb{R}^n$ con $0 \leq s \leq 1$ e che la curva $\gamma$ appartenga a tale famiglia in modo che valga $\gamma = \gamma_1$ . Assunto che:

la funzione $(t,s) \mapsto \gamma_s(t)$ definita da $\gamma_s : I \times [0,1] \to \mathbb{R}^n$ è continua (tale funzione è quella che associa l’s-esimo elemento della famiglia alla curva $\gamma_s(t)$ )
il sostegno $\Gamma_s = \gamma_s(I)$ di ogni curva è contenuto in $\Omega$
$\gamma_0$ è costante (ossia il suo sostegno è un punto)

l’omotopia è proprio la funzione $(t,s) \mapsto \gamma_s(t)$ e la curva $\gamma$ viene detta essere omotopa a un punto.

Osservazione 1

Un insieme semplicemente connesso privato di una retta continua ad essere semplicemente connesso in quanto può essere considerato unione di due insiemi semplicemente connessi.

Insiemi connessi

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Novembre 20, 2022

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