Campi vettoriali: come si studiano?

Nell’articolo che segue consideriamo campi vettoriali della forma $F: A\subseteq (\mathbb R^2) \rightarrow \mathbb R^2$ : sono delle funzioni che prendendo in ingresso due input $x$ e $y$ restituiscono in uscita due output $f_1(x,y)$ e $f_2(x,y)$ .

Il campo vettoriale verrà allora scritto come:

$F(x,y)=(f_1(x,y), f_2(x,y))$

Quando studiamo un campo vettoriale siamo in particolar modo interessati a 3 sue proprietà: il dominio, la rotazionalità e la conservatività.

Vediamole nel dettaglio.

1) Il dominio

Il dominio di un campo vettoriale è dato dall’intersezione dei domini delle due funzioni che costituiscono il campo vettoriale:

$\begin{cases}Dom \ f_{1}(x,y)\\Dom \ f_{2}(x,y)\end{cases}$

1.2) Studio della natura del dominio

Nello studio dei campi vettoriali è importante classificare l’insieme in cui si sta effettuando tale studio. In particolare è necessario capire se l’insieme è semplicemente connesso o meno.

Un insieme viene definito semplicemente connesso se ogni curva chiusa in esso contenuta è omotopa a un punto, ossia se ogni curva chiusa contenuta nell’insieme piò essere deformata con continuità fino a diventare un punto.

In $\mathbb R^2$ possiamo asserire che un insieme è semplicemente connesso se e solo se non ha buchi.

Osservazione 1

Un insieme semplicemente connesso privato di una retta continua ad essere semplicemente connesso in quanto può essere considerato unione di due insiemi semplicemente connessi.

3) Studio della rotazionalità

Un campo vettoriale viene definito irrotazionale se

$\dfrac{\partial f_{1}(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial f_{2}(x,y)}{\partial x}$

4) Studio della conservatività

Un campo vettoriale $F$ viene definito conservativo se esiste una funzione $U:A(\subseteq \mathbb R^2) \rightarrow \mathbb R^2$ tale che:

$\nabla U = F \Rightarrow \begin{pmatrix}\frac{\partial U}{\partial x} \\ \\\frac{\partial U}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{1}(x,y) \\f_{2}(x,y)\end{pmatrix}$

In tal caso la funzione $U$ si dice potenziale del campo vettoriale $F$ .

4.1) Calcolo del potenziale del campo vettoriale $\mathbf F$

Per calcolare il potenziale del campo vettoriale $F$ utilizziamo la definizione data al punto precedente:

dobbiamo calcolare una funzione $U$ tale che la derivata di $U$ rispetto a $x$ sia pari a $f_{1}(x,y)$ e la derivata di $U$ rispetto a $y$ sia paria a $f_{2}(x,y)$ .

Per far ciò o integriamo $f_{1}(x,y)$ rispetto a $x$ oppure $f_{2}(x,y)$ rispetto a $y$ . La costante di integrazione sarà funzione della variabile rispetto alla quale non abbiamo svolto l’integrale.

Ad esempio, integrando $f_{1}(x,y)$ rispetto a $x$ otteniamo:

$U(x,y) = \int f_{1}(x,y) dx = F_{1}(x,y)+c(y)$

A questo punto dobbiamo porre la derivata di $U$ rispetto a $y$ uguale a $f_2(x,y)$ :

$\frac{\partial U}{\partial y} = f_{2}(x,y) \Rightarrow \frac{\partial F_{1}(x,y)}{\partial y}+c'(y)= f_{2}(x,y) \Rightarrow c'(y)=-\frac{\partial F_{1}(x,y)}{\partial y} + f_{2}(x,y)$

A questo punto ricavando $c(y)$ (integrando la relazione precedente rispetto a $y$ e sostituendo l’espressione di $c(y)$ nell’espressione del potenziale $\Big (U(x,y) = F_{1}(x,y)+c(y) \Big)$ otteniamo la forma finale del potenziale di $F$ .

Osservazione 2

Se $F$ è irrotazionale in un insieme semplicemente connesso allora $F$ è conservativo.

Osservazione 3

Se $F$ è irrotazionale su un insieme che non è semplicemente connesso possiamo verificarne la conservatività calcolandone l’integrale lungo una curva chiusa che circonda il “buco”: se l’integrale è zero allora $F$ è conservativo.

Vediamo ora un esempio di studio di un campo vettoriale.

Esempio 1

Dati il dominio $D=\{(x,y)\in \mathbb R^2 : x>0, \ y>0 \}$ e il campo vettoriale $F(x,y)=\big(\frac{y^2}{x^2},-\frac{2y}{x} \big)$ determinare se esso sia conservativo su $D$ .

Svolgimento

1) Dominio

Per prima cosa calcoliamo il dominio di $F$ :

$Dom \ F := x\neq 0$ .

Si vede che il campo vettoriale è ben definito nell’insieme $D$ .

Poiché l’insieme $D$ non ha buchi possiamo concludere che esso è semplicemente connesso.

2) Irrotazionalità

Studiamo la rotazionalità del campo vettoriale.

$\frac{\partial f_1}{\partial y}=\frac{2y}{x^2}$

$\frac{\partial f_2}{\partial x}=\frac{2y}{x^2}$

Poiché $\frac{\partial f_1}{\partial y} = \frac{\partial f_2}{\partial x}$ il campo vettoriale è irrotazionale.

3) Conservatività

Dato che il campo vettoriale $F$ è irrotazionale sull’insieme semplicemente connesso $D$ si ha che $F$ è conservativo su $D \Rightarrow$ esiste il potenziale $U$ di $F$ .

$\nabla U = F \Rightarrow \begin{pmatrix}\frac{\partial U}{\partial x} \\ \\\frac{\partial U}{\partial y}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}f_{1}(x,y) \\f_{2}(x,y)\end{pmatrix}==\begin{pmatrix}\frac{y^2}{x^2} \\-\frac{2y}{x}\end{pmatrix}$