Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo

Divisibilità

Prima di introdurre formalmente MCD e mcm, richiamiamo il concetto di divisore.

Definizione

Divisibilità

Siano $a,b\in\mathbb{Z}$ , con $a\neq 0$ . Diciamo che $a$ divide $b$ se esiste un intero $k\in\mathbb{Z}$ tale che

$\displaystyle b=ak.$

In questo caso scriviamo

$\displaystyle a\mid b.$

Esempio

Abbiamo $3\mid 12$ perché esiste l’intero $4$ tale che

$\displaystyle 12=3\cdot4.$

Al contrario, $5\nmid 12$ , perché non esiste alcun intero $k$ per cui $12=5k$ .

Nel seguito lavoreremo principalmente con numeri naturali positivi.

Il massimo comune divisore

Consideriamo due numeri naturali positivi $a$ e $b$ . Possiamo elencarne i divisori e individuare quelli che hanno in comune.

Esempio

Prendiamo

$\displaystyle a=18,\qquad b=24.$

I divisori positivi di $18$ sono

$\displaystyle 1,\;2,\;3,\;6,\;9,\;18,$

mentre quelli di $24$ sono

$\displaystyle 1,\;2,\;3,\;4,\;6,\;8,\;12,\;24.$

I divisori comuni sono quindi

$\displaystyle 1,\;2,\;3,\;6.$

Tra questi, il più grande è $6$ .

Definizione

Massimo comune divisore

Siano $a,b\in\mathbb{N}$ , con $a,b>0$ . Il massimo comune divisore di $a$ e $b$ , indicato con

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b),$

è il più grande numero naturale positivo che divide sia $a$ sia $b$ .

In simboli, se

$\displaystyle d=\operatorname{MCD}(a,b),$

allora

$\displaystyle d\mid a,\qquad d\mid b,$

e ogni altro divisore comune di $a$ e $b$ divide $d$ .

Esempio

Tornando all’esempio precedente:

$\displaystyle \operatorname{MCD}(18,24)=6.$

Idea chiave

La definizione non dice semplicemente che il MCD è un divisore comune particolarmente grande: è il massimo tra tutti i divisori comuni.

Inoltre, se $d=\operatorname{MCD}(a,b)$ , ogni divisore comune di $a$ e $b$ divide necessariamente $d$ .

Numeri coprimi

Un caso particolarmente importante si presenta quando due numeri non possiedono divisori comuni diversi da $1$ .

Definizione

Numeri coprimi

Due numeri naturali positivi $a$ e $b$ si dicono coprimi, o primi tra loro, se

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)=1.$

Esempio

$\displaystyle \operatorname{MCD}(8,15)=1.$

Quindi $8$ e $15$ sono coprimi, anche se entrambi sono composti:

$\displaystyle 8=2^3,\qquad 15=3\cdot5.$

Attenzione

Dire che due numeri sono primi tra loro non significa dire che i due numeri siano primi. Significa soltanto che non hanno fattori primi in comune, o equivalentemente che il loro massimo comune divisore è uguale a $1$ .

Calcolo del MCD mediante la scomposizione in fattori primi

Quando i numeri non sono troppo grandi, il MCD può essere determinato facilmente attraverso la loro scomposizione in fattori primi.

Esempio guidato

Consideriamo $72$ e $120$ .

$\displaystyle 72=2^3\cdot3^2,\qquad 120=2^3\cdot3\cdot5.$

I fattori primi presenti in entrambe le scomposizioni sono $2$ e $3$ . Per ciascun fattore comune prendiamo l’esponente minore:

$\displaystyle 2^{\min\{3,3\}}=2^3,\qquad 3^{\min\{2,1\}}=3.$

$\displaystyle \operatorname{MCD}(72,120)=2^3\cdot3=24.$

Regola

Come calcolare il MCD

Dopo aver scomposto i numeri in fattori primi, prendiamo i fattori primi comuni, ciascuno con il minimo esponente con cui compare.

Il motivo è semplice: un divisore comune non può contenere un fattore primo assente da uno dei due numeri.

Se un fattore primo $p$ compare come $p^\alpha$ nella scomposizione di $a$ e come $p^\beta$ nella scomposizione di $b$ , un divisore comune può contenere al massimo

$\displaystyle p^{\min\{\alpha,\beta\}}.$

Per ottenere il divisore comune più grande dobbiamo quindi prendere esattamente tale potenza.

L’algoritmo di Euclide

La scomposizione in fattori primi non è l’unico modo per calcolare il massimo comune divisore. L’algoritmo di Euclide usa una successione di divisioni con resto.

Proprietà fondamentale

Se

$\displaystyle a=bq+r,\qquad 0\le r<b,$

allora

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)=\operatorname{MCD}(b,r).$

Perché questa proprietà è vera?

Se un numero $d$ divide sia $a$ sia $b$ , allora divide anche

$\displaystyle a-bq=r.$

Quindi ogni divisore comune di $a$ e $b$ è anche un divisore comune di $b$ e $r$ .

Viceversa, se $d$ divide sia $b$ sia $r$ , allora divide

$\displaystyle bq+r=a.$

Le coppie $(a,b)$ e $(b,r)$ hanno quindi esattamente gli stessi divisori comuni; i rispettivi MCD coincidono.

Esempio

Calcoliamo

$\displaystyle \operatorname{MCD}(252,105).$

Prima divisione:

$\displaystyle 252=105\cdot2+42.$

Quindi $\operatorname{MCD}(252,105)=\operatorname{MCD}(105,42)$ .

Seconda divisione:

$\displaystyle 105=42\cdot2+21.$

Perciò $\operatorname{MCD}(105,42)=\operatorname{MCD}(42,21)$ .

Terza divisione:

$\displaystyle 42=21\cdot2.$

Il resto è zero. L’ultimo resto non nullo è $21$ .

$\displaystyle \operatorname{MCD}(252,105)=21.$

Perché è utile

L’algoritmo di Euclide evita di dover conoscere la scomposizione in fattori primi dei numeri. Per numeri grandi è quindi, in generale, molto più efficiente dell’elenco dei divisori o della scomposizione diretta.

Il minimo comune multiplo

Passiamo ora dai divisori ai multipli.

Esempio

Consideriamo $a=6$ e $b=8$ .

I primi multipli positivi di $6$ sono

$\displaystyle 6,\;12,\;18,\;24,\;30,\;36,\ldots$

mentre quelli di $8$ sono

$\displaystyle 8,\;16,\;24,\;32,\;40,\;48,\ldots$

Il primo multiplo positivo presente in entrambi gli elenchi è $24$ .

$\displaystyle \operatorname{mcm}(6,8)=24.$

Definizione

Minimo comune multiplo

Siano $a,b\in\mathbb{N}$ , con $a,b>0$ . Il minimo comune multiplo di $a$ e $b$ , indicato con

$\displaystyle \operatorname{mcm}(a,b),$

è il più piccolo numero naturale positivo che sia multiplo sia di $a$ sia di $b$ .

Dire che $m=\operatorname{mcm}(a,b)$ significa quindi che

$\displaystyle a\mid m\qquad\text{e}\qquad b\mid m,$

e che nessun intero positivo minore di $m$ possiede entrambe queste proprietà.

Calcolo del mcm mediante la scomposizione in fattori primi

Consideriamo ancora

$\displaystyle 72=2^3\cdot3^2,\qquad 120=2^3\cdot3\cdot5.$

Questa volta dobbiamo costruire un numero divisibile sia per $72$ sia per $120$ . Deve quindi contenere tutti i fattori primi necessari a contenere entrambe le scomposizioni.

Fattore 2 $2^3$

Fattore 3 $3^2$

Fattore 5 $5$

$\displaystyle \operatorname{mcm}(72,120) =2^3\cdot3^2\cdot5 =360.$

Regola

Come calcolare il mcm

Dopo aver scomposto i numeri in fattori primi, prendiamo tutti i fattori primi presenti, ciascuno con il massimo esponente con cui compare.

Se $p^\alpha\mid a$ e $p^\beta\mid b$ , un multiplo comune di $a$ e $b$ deve contenere almeno

$\displaystyle p^{\max\{\alpha,\beta\}}.$

Per costruire il più piccolo multiplo comune prendiamo esattamente la potenza necessaria, senza aggiungere fattori superflui.

MCD e mcm a confronto

Supponiamo che

$\displaystyle a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}, \qquad b=p_1^{\beta_1}\cdots p_n^{\beta_n},$

dove permettiamo eventualmente che alcuni esponenti siano uguali a zero.

Massimo comune divisore

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b) = p_1^{\min\{\alpha_1,\beta_1\}} \cdots p_n^{\min\{\alpha_n,\beta_n\}}.$

Fattori comuni + esponente minimo.

Minimo comune multiplo

$\displaystyle \operatorname{mcm}(a,b) = p_1^{\max\{\alpha_1,\beta_1\}} \cdots p_n^{\max\{\alpha_n,\beta_n\}}.$

Tutti i fattori + esponente massimo.

Un modo per ricordarlo

Per il MCD dobbiamo costruire un numero che riesca a dividere entrambi: possiamo usare soltanto i fattori comuni e non possiamo superare l’esponente presente in nessuno dei due numeri. Per questo prendiamo il minimo degli esponenti.

Per il mcm dobbiamo invece costruire un numero che sia divisibile per entrambi: dobbiamo includere tutti i fattori necessari e, per ciascuno, una potenza sufficientemente grande. Per questo prendiamo il massimo degli esponenti.

Relazione tra MCD e mcm

Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo non sono due quantità indipendenti.

Relazione fondamentale

Per ogni $a,b\in\mathbb{N}$ , con $a,b>0$ , vale

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)\, \operatorname{mcm}(a,b) = ab.$

Di conseguenza,

$\displaystyle \operatorname{mcm}(a,b) = \frac{ab}{\operatorname{MCD}(a,b)}.$

Dimostrazione mediante la scomposizione in fattori primi

Scriviamo

$\displaystyle a=p_1^{\alpha_1}\cdots p_n^{\alpha_n}, \qquad b=p_1^{\beta_1}\cdots p_n^{\beta_n}.$

Nel prodotto tra MCD e mcm, per ogni fattore primo $p_i$ , l’esponente complessivo è

$\displaystyle \min\{\alpha_i,\beta_i\} + \max\{\alpha_i,\beta_i\}.$

Ma vale sempre

$\displaystyle \min\{\alpha_i,\beta_i\} + \max\{\alpha_i,\beta_i\} = \alpha_i+\beta_i.$

Pertanto

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)\, \operatorname{mcm}(a,b) = p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdots p_n^{\alpha_n+\beta_n} = ab.$

Esempio

Poiché $\operatorname{MCD}(72,120)=24$ , possiamo calcolare il minimo comune multiplo senza ripetere la scomposizione:

$\displaystyle \operatorname{mcm}(72,120) = \frac{72\cdot120}{24} = 360.$

Il caso di numeri coprimi

La relazione precedente diventa particolarmente semplice quando $a$ e $b$ sono coprimi.

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)=1.$

Allora

$\displaystyle \operatorname{mcm}(a,b) = \frac{ab}{1} = ab.$

Conseguenza

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)=1 \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{mcm}(a,b)=ab.$

Ad esempio, $\operatorname{MCD}(8,15)=1$ , quindi

$\displaystyle \operatorname{mcm}(8,15)=8\cdot15=120.$

Un esempio completo

Esempio svolto

Consideriamo

$\displaystyle a=84,\qquad b=126.$

Scomponiamo i due numeri in fattori primi:

$\displaystyle 84=2^2\cdot3\cdot7, \qquad 126=2\cdot3^2\cdot7.$

Per il massimo comune divisore prendiamo i fattori comuni con il minimo esponente:

$\displaystyle \operatorname{MCD}(84,126) = 2\cdot3\cdot7 = 42.$

Per il minimo comune multiplo prendiamo invece tutti i fattori presenti con il massimo esponente:

$\displaystyle \operatorname{mcm}(84,126) = 2^2\cdot3^2\cdot7 = 252.$

Verifichiamo la relazione fondamentale:

$\displaystyle 42\cdot252=10584, \qquad 84\cdot126=10584.$

Quindi effettivamente

$\displaystyle \operatorname{MCD}(84,126) \operatorname{mcm}(84,126) = 84\cdot126.$

MCD e mcm di più numeri

Le nozioni di massimo comune divisore e minimo comune multiplo si estendono naturalmente a più di due numeri.

$\displaystyle 24=2^3\cdot3,\qquad 36=2^2\cdot3^2,\qquad 60=2^2\cdot3\cdot5.$

Per il MCD prendiamo i fattori presenti in tutte le scomposizioni con il minimo esponente:

$\displaystyle \operatorname{MCD}(24,36,60) = 2^2\cdot3 = 12.$

Per il mcm prendiamo tutti i fattori che compaiono almeno una volta, con il massimo esponente:

$\displaystyle \operatorname{mcm}(24,36,60) = 2^3\cdot3^2\cdot5 = 360.$

Da ricordare

Nel calcolo del MCD di più numeri un fattore primo deve essere presente in tutti i numeri per poter comparire nel risultato.

Nel calcolo del mcm, invece, è sufficiente che un fattore primo compaia in almeno uno dei numeri: nel risultato lo prendiamo con il massimo esponente presente.

Quando usare il MCD e quando usare il mcm?

Una difficoltà frequente negli esercizi consiste nel capire quale delle due quantità richieda il problema.

Usa il MCD quando…

devi suddividere, raggruppare o ripartire quantità nel maggior numero possibile di parti uguali, oppure vuoi ottenere parti della massima dimensione possibile senza resti.

Usa il mcm quando…

cerchi il primo valore, il primo istante o la prima quantità compatibile contemporaneamente con più periodicità.

Problema 1 · Massimo Comune Divisore

Abbiamo due nastri lunghi rispettivamente $84\text{ cm}$ e $126\text{ cm}$ . Vogliamo tagliarli in pezzi tutti della stessa lunghezza, senza scarti e scegliendo pezzi della massima lunghezza possibile.

La lunghezza cercata deve dividere sia $84$ sia $126$ e deve essere la più grande possibile:

$\displaystyle \operatorname{MCD}(84,126)=42.$

Ogni pezzo dovrà essere lungo $42\text{ cm}$ .

Problema 2 · Minimo Comune Multiplo

Due segnali si ripetono rispettivamente ogni $6\text{ s}$ e $8\text{ s}$ . Se partono contemporaneamente, vogliamo sapere dopo quanto tempo si verificheranno nuovamente insieme.

Cerchiamo il più piccolo numero multiplo sia di $6$ sia di $8$ :

$\displaystyle \operatorname{mcm}(6,8)=24.$

I due segnali torneranno a coincidere dopo $24\text{ s}$ .

Riepilogo

Massimo comune divisore

È il più grande divisore comune a due o più numeri.

fattori comuni + minimo esponente

Minimo comune multiplo

È il più piccolo multiplo positivo comune a due o più numeri.

tutti i fattori + massimo esponente

Formula da ricordare

$\displaystyle \boxed{ \operatorname{MCD}(a,b)\, \operatorname{mcm}(a,b) = ab }.$

Caso particolare

Se $a$ e $b$ sono primi tra loro, allora

$\displaystyle \operatorname{MCD}(a,b)=1$

e quindi

$\displaystyle \boxed{\operatorname{mcm}(a,b)=ab}.$

Massimo Comune Divisore e Minimo Comune Multiplo

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Settembre 30, 2026

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

Divisibilità

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Il massimo comune divisore

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Numeri coprimi

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Come calcolare il MCD

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Il minimo comune multiplo

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Calcolo del mcm mediante la scomposizione in fattori primi

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MCD e mcm a confronto

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