Matematica di base · Algebra

Teorema e regola di Ruffini: zeri, fattori e scomposizione dei polinomi

Quando dividiamo un polinomio per un binomio della forma $x-a$ , il valore $P(a)$ permette di capire immediatamente se la divisione è esatta. Da questa osservazione nasce il teorema di Ruffini, che collega in modo diretto zeri, fattori e scomposizione dei polinomi. Vedremo inoltre come eseguire la divisione in modo abbreviato mediante la regola di Ruffini.

Livello: base Argomento: algebra Zeri e fattorizzazione

Il teorema di Ruffini

Dal teorema del resto segue immediatamente un criterio fondamentale per la fattorizzazione dei polinomi.

Teorema

Teorema di Ruffini

Sia $P(x)$ un polinomio.

Il binomio

$\displaystyle x-a$

divide $P(x)$ se e solo se

$\displaystyle P(a)=0.$

In simboli,

$\displaystyle (x-a)\mid P(x)\quad\Longleftrightarrow\quad P(a)=0.$

Infatti, per il teorema del resto, il resto della divisione di $P(x)$ per $x-a$ è proprio

$\displaystyle P(a).$

La divisione è esatta se e solo se il resto è nullo, cioè se e solo se

$\displaystyle P(a)=0.$

Zeri e fattori di un polinomio

Un numero $a$ tale che

$\displaystyle P(a)=0$

si dice zero o radice del polinomio.

Dal teorema di Ruffini segue quindi la relazione

$\displaystyle P(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-a\mid P(x).$

Interpretazione

Trovare uno zero di un polinomio significa trovare un fattore lineare del polinomio.

$\displaystyle P(a)=0,$

allora possiamo scrivere

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x).$

Questa connessione tra zeri e fattorizzazione è uno dei motivi per cui la divisione tra polinomi è così importante.

Esempio: riconoscere un fattore

Esempio

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=x^3-6x^2+11x-6.$

Vogliamo verificare se

$\displaystyle x-1$

è un fattore.

Calcoliamo

$\displaystyle P(1)=1-6+11-6=0.$

Pertanto, per il teorema di Ruffini,

$\displaystyle x-1\mid P(x).$

Possiamo quindi scrivere

$\displaystyle P(x)=(x-1)Q(x).$

Eseguendo la divisione otteniamo

$\displaystyle Q(x)=x^2-5x+6.$

$\displaystyle x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$

quindi

$\displaystyle P(x)=(x-1)(x-2)(x-3).$

Come cercare gli zeri razionali di un polinomio

Quando vogliamo utilizzare il teorema di Ruffini per scomporre un polinomio, il problema principale è capire quali valori conviene provare come possibili zeri.

Consideriamo un polinomio a coefficienti interi

$\displaystyle P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0, \qquad a_n\neq 0.$

Se un numero razionale

$\displaystyle \frac{p}{q},$

scritto in forma ridotta, cioè con $p$ e $q$ coprimi, è uno zero di $P(x)$ , allora necessariamente

$\displaystyle p\mid a_0 \qquad\text{e}\qquad q\mid a_n.$

Possibili zeri razionali

In un polinomio a coefficienti interi, le radici razionali sono sempre della forma $p/q$ , con $p$ e $q$ coprimi e tali che $p$ è un divisore del termine noto $a_0$ e $q$ è un divisore del coefficiente direttivo $a_n$ .

Questa condizione permette di restringere notevolmente i valori da considerare come possibili zeri.

È però importante ricordare che si tratta di una condizione necessaria, ma non sufficiente: non tutti i numeri della forma $p/q$ così ottenuti sono necessariamente zeri del polinomio.

Per stabilire quali lo siano effettivamente dobbiamo verificare per quali valori risulta

$\displaystyle P\left(\frac{p}{q}\right)=0.$

Esempio

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=2x^3-3x^2-8x+12.$

Il termine noto è

$\displaystyle a_0=12,$

mentre il coefficiente direttivo è

$\displaystyle a_n=2.$

Se $p/q$ è uno zero razionale, deve quindi essere

$\displaystyle p\mid 12, \qquad q\mid 2.$

I divisori interi di $12$ sono

$\displaystyle \pm1,\;\pm2,\;\pm3,\;\pm4,\;\pm6,\;\pm12,$

mentre quelli di $2$ sono

$\displaystyle \pm1,\;\pm2.$

Dopo aver eliminato le frazioni equivalenti, i possibili zeri razionali sono quindi

$\displaystyle \pm1,\; \pm2,\; \pm3,\; \pm4,\; \pm6,\; \pm12,\; \pm\frac12,\; \pm\frac32.$

A questo punto possiamo verificare quali di questi valori annullino effettivamente il polinomio.

Il caso dei polinomi monici

La ricerca diventa particolarmente semplice quando il polinomio è monico, cioè quando il coefficiente del termine di grado massimo è uguale a $1$ .

In questo caso

$\displaystyle a_n=1.$

Poiché l’unico divisore positivo di $1$ è $1$ , l’eventuale denominatore $q$ di uno zero razionale deve essere

$\displaystyle q=1.$

Di conseguenza, ogni eventuale zero razionale deve essere un numero intero che divide il termine noto.

Caso particolare: polinomio monico

$\displaystyle P(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

è un polinomio monico a coefficienti interi, allora ogni suo eventuale zero razionale deve essere un divisore intero del termine noto $a_0$ .

Esempio: polinomio monico

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=x^3-4x^2+x+6.$

Poiché il polinomio è monico e il termine noto è $6$ , gli eventuali zeri razionali devono appartenere all’insieme

$\displaystyle \{\pm1,\pm2,\pm3,\pm6\}.$

Possiamo quindi verificare questi valori senza procedere per tentativi casuali. Ad esempio,

$\displaystyle P(2) = 2^3-4\cdot2^2+2+6 = 8-16+2+6 = 0.$

Quindi $2$ è uno zero del polinomio e, per il teorema di Ruffini,

$\displaystyle x-2$

è un fattore di $P(x)$ .

Attenzione

Il criterio precedente individua soltanto i possibili zeri razionali.

Se nessuno dei valori ottenuti annulla il polinomio, possiamo concludere che il polinomio non possiede zeri razionali, ma ciò non significa necessariamente che non abbia zeri reali o complessi.

La regola di Ruffini

Quando il divisore è della forma

$\displaystyle x-a,$

la divisione può essere eseguita con un procedimento abbreviato noto come regola di Ruffini.

Esempio guidato

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=2x^3-3x^2-11x+6$

e dividiamolo per

$\displaystyle x-3.$

Nel procedimento utilizziamo soltanto i coefficienti del polinomio:

$\displaystyle 2,\;-3,\;-11,\;6.$

Poiché il divisore è $x-3$ , utilizziamo il numero $3$ .

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} 3 & 2 & -3 & -11 & 6 \\ & & 6 & 9 & -6 \\ \hline & 2 & 3 & -2 & 0 \end{array}$

La prima operazione consiste nel riportare il primo coefficiente: $2$ .

Moltiplichiamo quindi

$\displaystyle 2\cdot3=6$

e sommiamo al coefficiente successivo:

$\displaystyle -3+6=3.$

Poi

$\displaystyle 3\cdot3=9,$

e quindi

$\displaystyle -11+9=-2.$

Infine,

$\displaystyle -2\cdot3=-6,$

$\displaystyle 6-6=0.$

I primi tre numeri dell’ultima riga sono i coefficienti del quoziente:

$\displaystyle Q(x)=2x^2+3x-2,$

mentre l’ultimo numero è il resto:

$\displaystyle R=0.$

Pertanto

$\displaystyle 2x^3-3x^2-11x+6=(x-3)(2x^2+3x-2).$

Perché la regola di Ruffini funziona?

La regola di Ruffini non è una regola indipendente dalla divisione tra polinomi. È semplicemente una forma abbreviata della divisione quando il divisore è

$\displaystyle x-a.$

Vediamo come nasce il procedimento

Supponiamo di avere

$\displaystyle P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$

e di voler dividere per

$\displaystyle x-c.$

Cerchiamo un quoziente

$\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_1x+b_0.$

Dalla relazione

$\displaystyle P(x)=(x-c)Q(x)+r$

e confrontando i coefficienti delle stesse potenze di $x$ , otteniamo successivamente

$\displaystyle b_{n-1}=a_n,$

$\displaystyle b_{n-2}=a_{n-1}+cb_{n-1},$

e così via. Sono precisamente le operazioni che vengono eseguite nello schema di Ruffini.

Osservazione

La regola di Ruffini è quindi un algoritmo abbreviato per una situazione molto specifica:

$\displaystyle \text{divisore della forma }x-a.$

Non può essere utilizzata direttamente per dividere, ad esempio, per

$\displaystyle x^2+1$

oppure per

$\displaystyle 2x-3$

nella sua forma elementare usuale.

Attenzione al segno

Uno degli errori più frequenti nell’utilizzo della regola di Ruffini riguarda il numero da inserire nello schema.

Se il divisore è

$\displaystyle x-a,$

nello schema si utilizza $a$ .

Primo caso

$\displaystyle x-4\quad\longrightarrow\quad4.$

Secondo caso

$\displaystyle x+4=x-(-4)\quad\longrightarrow\quad-4.$

Attenzione

Se il divisore è

$\displaystyle x+3,$

nella regola di Ruffini bisogna utilizzare $-3$ .

Termini mancanti nella regola di Ruffini

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=x^4-5x^2+4.$

Il polinomio deve essere pensato nella forma completa

$\displaystyle P(x)=x^4+0x^3-5x^2+0x+4.$

I coefficienti da utilizzare sono quindi

$\displaystyle 1,\;0,\;-5,\;0,\;4.$

Attenzione

Nella regola di Ruffini non possiamo semplicemente omettere i termini mancanti.

A ogni potenza della variabile deve corrispondere un coefficiente. Se il termine manca, il suo coefficiente è

$\displaystyle 0.$

Divisione, resto e valutazione del polinomio

Per il divisore $x-a$ abbiamo visto tre concetti che in realtà descrivono lo stesso fenomeno.

Se dividiamo $P(x)$ per $x-a$ , allora

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+P(a).$

Questa formula contiene contemporaneamente:

il teorema della divisione;
il teorema del resto;
il teorema di Ruffini.

Infatti,

$\displaystyle P(a)=0$

se e solo se

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x),$

cioè se e solo se

$\displaystyle x-a$

è un fattore di $P(x)$ .

Un esempio completo

Esempio svolto

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=x^3-4x^2+x+6.$

Cerchiamo se tra i numeri interi semplici esiste uno zero.

Proviamo

$\displaystyle x=2.$

Otteniamo

$\displaystyle P(2)=8-16+2+6=0.$

Quindi

$\displaystyle x-2$

è un fattore di $P(x)$ .

Applichiamo Ruffini:

$\displaystyle \begin{array}{r|rrrr} 2 & 1 & -4 & 1 & 6 \\ & & 2 & -4 & -6 \\ \hline & 1 & -2 & -3 & 0 \end{array}$

Pertanto

$\displaystyle P(x)=(x-2)(x^2-2x-3).$

Il secondo fattore può essere ulteriormente scomposto:

$\displaystyle x^2-2x-3=(x-3)(x+1).$

Quindi

$\displaystyle P(x)=(x-2)(x-3)(x+1).$

Gli zeri del polinomio sono dunque

$\displaystyle 2,\qquad3,\qquad-1.$

Errori frequenti

Errori da evitare

I polinomi devono essere ordinati rispetto alle potenze della variabile.
I termini mancanti devono essere rappresentati mediante coefficienti nulli.
La divisione termina soltanto quando il grado del resto è minore del grado del divisore.
Nella sottrazione bisogna cambiare correttamente il segno di tutti i termini del polinomio che viene sottratto.
La regola di Ruffini, nella sua forma standard, si applica soltanto a divisori della forma
$\displaystyle x-a.$
Se il divisore è $x+a$ , nello schema di Ruffini si utilizza il numero $-a$ .

Riepilogo

Teorema di Ruffini

Un numero $a$ è uno zero di $P(x)$ se e solo se $x-a$ è un fattore del polinomio.

zero del polinomio ⇔ fattore lineare

Regola di Ruffini

È un procedimento abbreviato per dividere un polinomio per un divisore della forma $x-a$ .

si lavora direttamente sui coefficienti

Formula da ricordare

$\displaystyle P(a)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-a\mid P(x).$

Collegamento fondamentale

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+P(a).$

Questa relazione collega divisione tra polinomi, teorema del resto, zeri e fattorizzazione.

Teorema e regola di Ruffini: zeri, fattori e scomposizione dei polinomi

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Ottobre 1, 2026

Teorema e regola di Ruffini: zeri, fattori e scomposizione dei polinomi

Il teorema di Ruffini

Teorema di Ruffini

Zeri e fattori di un polinomio

Esempio: riconoscere un fattore

Come cercare gli zeri razionali di un polinomio

Il caso dei polinomi monici

La regola di Ruffini

Perché la regola di Ruffini funziona?

Attenzione al segno

Termini mancanti nella regola di Ruffini

Divisione, resto e valutazione del polinomio

Un esempio completo

Errori frequenti

Riepilogo

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Polinomi e divisioni tra polinomi

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