Matematica di base · Algebra

Polinomi e divisione tra polinomi

I polinomi costituiscono uno degli oggetti fondamentali dell’algebra. Compaiono nella risoluzione di equazioni, nello studio delle funzioni, nella fattorizzazione e, più avanti, in numerosi argomenti dell’analisi matematica. In questa lezione introduciamo il linguaggio essenziale dei polinomi e ci concentriamo in particolare sulla divisione tra polinomi, mettendola in relazione con la normale divisione tra numeri interi.

Livello: base Argomento: algebra Divisione tra polinomi

Monomi e polinomi

Partiamo da un esempio:

$\displaystyle 3x^4-2x^2+5x-7.$

Questa espressione è formata dalla somma algebrica dei termini

$\displaystyle 3x^4,\qquad -2x^2,\qquad 5x,\qquad -7.$

Ciascun termine è un monomio nella variabile $x$ .

Definizione

Polinomio in una variabile

Un polinomio nella variabile $x$ è un’espressione della forma

$\displaystyle P(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0,$

dove

$\displaystyle a_0,a_1,\ldots,a_n$

sono numeri, detti coefficienti, e gli esponenti di $x$ sono numeri interi non negativi.

$\displaystyle a_n\neq0,$

il numero $n$ è detto grado del polinomio.

Esempio

$\displaystyle P(x)=4x^5-3x^2+7$

è un polinomio di grado $5$ .

Possiamo anche scriverlo esplicitando i coefficienti nulli:

$\displaystyle P(x)=4x^5+0x^4+0x^3-3x^2+0x+7.$

Osservazione

Il grado di un polinomio non dipende dal numero di termini effettivamente presenti, ma dal massimo esponente della variabile associato a un coefficiente diverso da zero.

Ad esempio,

$\displaystyle x^{10}+1$

ha soltanto due termini, ma è un polinomio di grado $10$ .

Il polinomio nullo

Un caso particolare è costituito dal polinomio

$\displaystyle P(x)=0,$

nel quale tutti i coefficienti sono nulli. Questo polinomio prende il nome di polinomio nullo.

Attenzione

Al polinomio nullo non si assegna normalmente un grado naturale. Quindi non bisogna confondere

$\displaystyle P(x)=0$

con un polinomio costante non nullo, come ad esempio

$\displaystyle P(x)=5,$

che ha invece grado $0$ .

Polinomi ordinati e completi

Un polinomio si dice ordinato secondo le potenze decrescenti di $x$ quando i termini vengono scritti a partire dalla potenza più alta fino a quella più bassa.

Ad esempio,

$\displaystyle 3x^4-2x^3+x-5$

è ordinato secondo potenze decrescenti.

Un polinomio si dice invece completo quando contiene tutte le potenze della variabile dal grado massimo fino al grado zero, eventualmente con coefficienti nulli.

Esempio

Il polinomio

$\displaystyle 2x^3-5x+1$

può essere scritto nella forma completa

$\displaystyle 2x^3+0x^2-5x+1.$

Questa scrittura sarà particolarmente utile nella divisione tra polinomi.

Somma e differenza di polinomi

Per sommare o sottrarre due polinomi dobbiamo combinare i termini simili, cioè quelli che contengono la stessa potenza della variabile.

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=3x^3+2x^2-x+4$

$\displaystyle Q(x)=x^3-5x^2+3x-1.$

Somma

$\displaystyle P(x)+Q(x)=(3+1)x^3+(2-5)x^2+(-1+3)x+(4-1),$

da cui

$\displaystyle P(x)+Q(x)=4x^3-3x^2+2x+3.$

Differenza

$\displaystyle P(x)-Q(x)=(3-1)x^3+\left(2-(-5)\right)x^2+(-1-3)x+\left(4-(-1)\right),$

quindi

$\displaystyle P(x)-Q(x)=2x^3+7x^2-4x+5.$

Prodotto tra polinomi

Per moltiplicare due polinomi utilizziamo la proprietà distributiva.

Esempio

$\displaystyle (x+2)(x+3)$

si calcola moltiplicando ciascun termine del primo polinomio per ciascun termine del secondo:

$\displaystyle (x+2)(x+3)=x^2+3x+2x+6.$

Raggruppando i termini simili otteniamo

$\displaystyle (x+2)(x+3)=x^2+5x+6.$

Grado del prodotto

Se $P(x)$ e $Q(x)$ sono polinomi non nulli, allora

$\displaystyle \deg(PQ)=\deg P+\deg Q.$

Ad esempio, se

$\displaystyle \deg P=3\qquad\text{e}\qquad\deg Q=2,$

allora

$\displaystyle \deg(PQ)=5.$

Valore di un polinomio

Un polinomio può essere valutato sostituendo alla variabile un determinato numero.

Esempio

$\displaystyle P(x)=2x^2-3x+1,$

allora, per $x=2$ ,

$\displaystyle P(2)=2\cdot2^2-3\cdot2+1=8-6+1=3.$

Definizione

Valore di un polinomio

Dato un polinomio

$\displaystyle P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0,$

il valore assunto dal polinomio nel punto $x=c$ è

$\displaystyle P(c)=a_nc^n+\cdots+a_1c+a_0.$

Divisione tra polinomi

La divisione tra polinomi è analoga, nella sua struttura, alla divisione euclidea tra numeri interi.

Ricordiamo che, dati due numeri interi positivi $a$ e $b$ , possiamo scrivere

$\displaystyle a=bq+r,$

dove $q$ è il quoziente e $r$ il resto, con

$\displaystyle 0\le r<b.$

Una struttura analoga vale per i polinomi.

Teorema

Teorema della divisione tra polinomi

Siano $A(x)$ e $B(x)$ due polinomi, con

$\displaystyle B(x)\neq0.$

Esistono e sono unici due polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ tali che

$\displaystyle A(x)=B(x)Q(x)+R(x),$

dove

$\displaystyle R(x)=0\qquad\text{oppure}\qquad\deg R<\deg B.$

Il polinomio $Q(x)$ è detto quoziente, mentre $R(x)$ è detto resto.

Relazione fondamentale

$\displaystyle A(x)=B(x)Q(x)+R(x).$

Quando è possibile eseguire la divisione?

$\displaystyle \deg A<\deg B,$

non è possibile ottenere un termine non nullo nel quoziente che riduca il grado del dividendo.

In questo caso la divisione è già conclusa:

$\displaystyle Q(x)=0,\qquad R(x)=A(x).$

Esempio

Dividendo

$\displaystyle 2x+1$

per

$\displaystyle x^2+3,$

otteniamo semplicemente

$\displaystyle 2x+1=(x^2+3)\cdot0+(2x+1).$

Osservazione

La divisione continua finché il resto ha grado maggiore o uguale al grado del divisore.

Si arresta quando

$\displaystyle \deg R<\deg B.$

La divisione in colonna

Consideriamo la divisione

$\displaystyle (2x^3+3x^2-5x+6):(x+2).$

Vogliamo determinare polinomi $Q(x)$ e $R(x)$ tali che

$\displaystyle 2x^3+3x^2-5x+6=(x+2)Q(x)+R(x).$

Schema della divisione

$\displaystyle \begin{array}{r|l} 2x^3+3x^2-5x+6 & x+2 \\[2mm] \cline{2-2} -2x^3-4x^2 & 2x^2-x-3 \\[1mm] \cline{1-1} -x^2-5x+6 & \\[1mm] x^2+2x & \\[-1mm] \cline{1-1} -3x+6 & \\[1mm] 3x+6 & \\[-1mm] \cline{1-1} 12 & \end{array}$

Partiamo dai termini di grado massimo:

$\displaystyle \frac{2x^3}{x}=2x^2.$

Scriviamo quindi $2x^2$ nel quoziente. Moltiplicando il divisore per $2x^2$ otteniamo

$\displaystyle 2x^2(x+2)=2x^3+4x^2.$

Nello schema, a sinistra al di sotto del dividendo, scriviamo l’opposto,

$\displaystyle -2x^3-4x^2.$

Tracciamo una riga orizzontale e sommiamo la prima riga alla seconda, scrivendo il risultato al di sotto della linea.

Ripetiamo le operazioni dividendo il nuovo polinomio $-x^2-5x+6$ per $x+2$ .

Dividiamo i termini di grado massimo:

$\displaystyle \frac{-x^2}{x}=-x.$

Il secondo termine del quoziente è quindi

$\displaystyle -x.$

Moltiplichiamo per il divisore

$\displaystyle -x(x+2)=-x^2-2x$

e scriviamo il risultato, cambiato di segno, a sinistra. Tracciamo una nuova riga orizzontale ed eseguiamo la somma:

$\displaystyle (-x^2-5x+6)+(x^2+2x)=-3x+6.$

Ripetiamo nuovamente il procedimento:

$\displaystyle \frac{-3x}{x}=-3.$

Aggiungiamo tale valore al quoziente e moltiplichiamo per il divisore:

$\displaystyle -3(x+2)=-3x-6.$

Scriviamo il risultato cambiato di segno a sinistra e sommiamo:

$\displaystyle (-3x+6)+(3x+6)=12.$

Il resto è quindi

$\displaystyle R(x)=12.$

Poiché

$\displaystyle \deg R=0<1=\deg(x+2),$

la divisione è terminata.

$\displaystyle Q(x)=2x^2-x-3,\qquad R(x)=12.$

Pertanto

$\displaystyle 2x^3+3x^2-5x+6=(x+2)(2x^2-x-3)+12.$

Lo schema generale della divisione

Possiamo riassumere il procedimento nel seguente modo.

Procedura

Come dividere due polinomi

Ordiniamo entrambi i polinomi secondo potenze decrescenti.
Dividiamo il termine di grado massimo del dividendo per il termine di grado massimo del divisore.
Inseriamo il risultato nel quoziente.
Moltiplichiamo il divisore per il termine appena trovato.
Cambiamo di segno e addizioniamo.
Ripetiamo il procedimento finché il resto ha grado minore del divisore.

Attenzione

Quando nel dividendo manca una potenza della variabile, è spesso conveniente inserire esplicitamente il termine con coefficiente nullo.

Ad esempio,

$\displaystyle x^3-4x+1$

conviene scriverlo come

$\displaystyle x^3+0x^2-4x+1.$

Questo riduce il rischio di errori durante la divisione.

Un secondo esempio

Consideriamo

$\displaystyle (x^4-3x^2+2x-5):(x^2-1).$

Scriviamo il dividendo in forma completa

$\displaystyle x^4+0x^3-3x^2+2x-5.$

e applichiamo gli stessi passaggi visti in precedenza.

Schema della divisione

$\displaystyle \begin{array}{r|l} x^4-3x^2+2x-5 & x^2-1 \\[2mm] \cline{2-2} -x^4+x^2 & x^2-2 \\[1mm] \cline{1-1} -2x^2+2x-5 & \\[1mm] 2x^2-2 & \\[-1mm] \cline{1-1} 2x-7 & \end{array}$

Dividiamo i termini principali:

$\displaystyle \frac{x^4}{x^2}=x^2.$

Il primo termine del quoziente è quindi

$\displaystyle x^2.$

Moltiplichiamo, cambiamo di segno, scriviamo a sinistra e sommiamo:

$\displaystyle x^2(x^2-1)=x^4-x^2,$

$\displaystyle (x^4-3x^2+2x-5)+(-x^4+x^2)=-2x^2+2x-5.$

Dividiamo nuovamente:

$\displaystyle \frac{-2x^2}{x^2}=-2.$

Il quoziente diventa quindi

$\displaystyle x^2-2.$

Moltiplichiamo:

$\displaystyle -2(x^2-1)=-2x^2+2.$

Cambiamo segno e sommiamo:

$\displaystyle (-2x^2+2x-5)+(2x^2-2)=2x-7.$

Poiché

$\displaystyle \deg(2x-7)=1<2=\deg(x^2-1),$

la divisione termina.

$\displaystyle Q(x)=x^2-2,\qquad R(x)=2x-7.$

In conclusione,

$\displaystyle x^4-3x^2+2x-5=(x^2-1)(x^2-2)+(2x-7).$

Divisione esatta e divisibilità tra polinomi

Come per i numeri interi, una divisione può avere resto nullo.

Esempio

Consideriamo

$\displaystyle x^2-5x+6$

e dividiamolo per

$\displaystyle x-2.$

Poiché

$\displaystyle x^2-5x+6=(x-2)(x-3),$

la divisione ha resto zero.

Definizione

Divisibilità tra polinomi

Diciamo che un polinomio $B(x)$ divide un polinomio $A(x)$ se esiste un polinomio $Q(x)$ tale che

$\displaystyle A(x)=B(x)Q(x).$

In simboli,

$\displaystyle B(x)\mid A(x).$

Equivalentemente, la divisione di $A(x)$ per $B(x)$ ha resto nullo.

Ad esempio,

$\displaystyle x-2\mid x^2-5x+6.$

Divisione per un binomio del tipo x − a

Un caso particolarmente importante è quello in cui il divisore è un polinomio di primo grado della forma

$\displaystyle x-a.$

Dal teorema della divisione abbiamo

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+R(x).$

Poiché il divisore ha grado $1$ , il resto deve avere grado minore di $1$ . Di conseguenza il resto è necessariamente una costante:

$\displaystyle R(x)=r.$

Possiamo quindi scrivere

$\displaystyle P(x)=(x-a)Q(x)+r.$

Ora poniamo

$\displaystyle x=a.$

Otteniamo

$\displaystyle P(a)=(a-a)Q(a)+r,$

quindi

$\displaystyle P(a)=r.$

Teorema

Teorema del resto

Il resto della divisione di un polinomio $P(x)$ per

$\displaystyle x-a$

è uguale a

$\displaystyle P(a).$

Un esempio con il teorema del resto

Consideriamo

$\displaystyle P(x)=2x^3-5x+4.$

Vogliamo conoscere il resto della divisione per

$\displaystyle x-2.$

Non è necessario eseguire l’intera divisione. Per il teorema del resto basta calcolare $P(2)$ .

$\displaystyle P(2)=2\cdot2^3-5\cdot2+4=16-10+4=10.$

$\displaystyle R=10.$

Osservazione

Il teorema del resto permette di conoscere il resto della divisione per $x-a$ senza calcolare il quoziente. Questo è particolarmente utile quando ci interessa soltanto stabilire se una divisione è esatta.

Riepilogo

Polinomio

Un polinomio in una variabile ha la forma $P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ .

grado = massimo esponente con coefficiente non nullo

Divisione

Dividendo $A(x)$ per $B(x)\neq0$ si ottengono quoziente e resto.

la divisione termina quando il resto ha grado minore del divisore

Formula da ricordare

$\displaystyle A(x)=B(x)Q(x)+R(x),\qquad R(x)=0\ \text{oppure}\ \deg R<\deg B.$

Caso particolare

Se il divisore è della forma $x-a$ , il resto della divisione è semplicemente

$\displaystyle P(a).$

Polinomi e divisioni tra polinomi

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Settembre 30, 2026

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Quando è possibile eseguire la divisione?

La divisione in colonna

Lo schema generale della divisione

Come dividere due polinomi

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