Consideriamo un corpo in una configurazione di riferimento 
.
A seguito di un processo deformativo il corpo assume la configurazione attuale 
.
Il punto P della configurazione di riferimento diviene allora il punto P’ della configurazione attuale.
Per calcolare le coordinate del nuovo punto P’ possiamo utilizzare il campo di trasporto: il campo di trasporto 
è, infatti, quella funzione vettoriale che prende in ingresso le coordinate del punto nella configurazione di riferimento e restituisce in uscita le coordinate di tale punto nella configurazione attuale.
Considerando il sistema di riferimento cartesiano mostrato in figura, assumiamo che i punti della configurazione di riferimento vengano individuati da un vettore 
mentre i punti della configurazione attuale vengano individuati da un vettore 
. Si ha allora:
Possiamo allora scrivere: 
.
Studiamo ora come varia un intorno del punto P a seguito del processo deformativo.
Mentre in uno spostamento rigido la distanza tra due punti P e Q resta inalterata durante il processo, in caso di deformazione tale vincolo non sussiste e quindi gli effetti deformativi possono essere studiati vedendo come varia la distanza tra due punti P e Q.
Consideriamo un intorno di P di raggio 
, con quantità infinitesima. Un generico punto Q appartenente a tale intorno è individuato dal vettore 
.
A seguito del processo deformativo Q diventa Q’ e possiamo scrivere:
Assumendo che tale processo deformativo avvenga in modo continuo e regolare, si ha che la funzione f è differenziabile cosicché possiamo effettuare la seguente approssimazione:
con F matrice Jacobiana di f:
\mathbf F= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} \\
\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\
\frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3}
\end{bmatrix}che indichiamo per semplicità con
\mathbf F=\begin{bmatrix}
f_{11} & f_{12} & f_{13} \\
f_{21} & f_{22} & f_{23} \\
f_{31} & f_{32} & f_{33} \\
\end{bmatrix}Poiché il 
è una quantità piccolissima il termine 
è trascurabile e possiamo scrivere 
.
Facendo riferimento alla figura precedente si vede che, dovendo valere la somma vettoriale , la quantità 
è il vettore rosso e quindi la matrice jacobana ci informa su come varia la dimensione dell’intorno di P.
La matrice jacobiana F è detta gradiente di trasporto (essendo la matrice delle derivate parziali del campo di trasporto).
Poiché stiamo considerando corpi materiali assumiamo che valga l’ipotesi di impenetrabilità della materia: a punti distinti di 
corrispondono punti distinti di 
. La funzione f risulta dunque essere iniettiva e quindi invertibile. L’invertibilità di f implica l’invertibilità di F cosicché tale matrice deve essere necessariamente non singolare ( 
).
Poiché stiamo considerando un processo continuo e regolare si ha necessariamente una delle due eventualità: o 
o 
.
Tra tutti i possibili processi deformativi possiamo trovare quello identico (atto di moto rigido) per il quale la lunghezza del vettorino non varia. Per tale processo il gradiente di trasporto coincide con la matrice identità, che ha determinante maggiore di zero (
). Dunque poiché il determinante di F è sempre positivo o sempre negativo, e poiché tra tutti i processi ve n’è almeno uno con determinante positivo, si ha che il determinante di F è sempre positivo.
Per verificare che vale l’ipotesi di impenetrabilità della materia (conservazione della materia) bisogna dunque accertarsi che valga la condizione 
.