Consideriamo un corpo in una configurazione di riferimento B_0.

A seguito di un processo deformativo il corpo assume la configurazione attuale B'.

Configurazioni di riferimento e attuale

Il punto P della configurazione di riferimento diviene allora il punto P’ della configurazione attuale.

Per calcolare le coordinate del nuovo punto P’ possiamo utilizzare il campo di trasporto: il campo di trasporto \mathbf{f(x)} è, infatti, quella funzione vettoriale che prende in ingresso le coordinate del punto nella configurazione di riferimento e restituisce in uscita le coordinate di tale punto nella configurazione attuale.

Considerando il sistema di riferimento cartesiano mostrato in figura, assumiamo che i punti della configurazione di riferimento vengano individuati da un vettore  \mathbf x mentre i punti della configurazione attuale vengano individuati da un vettore \mathbf X . Si ha allora:

Input e output del campo di trasporto

Possiamo allora scrivere: \mathbf {X=f(x)}.

Studiamo ora come varia un intorno del punto P a seguito del processo deformativo.

Mentre in uno spostamento rigido la distanza tra due punti P e Q resta inalterata durante il processo, in caso di deformazione tale vincolo non sussiste e quindi gli effetti deformativi possono essere studiati vedendo come varia la distanza tra due punti P e Q.

Consideriamo un intorno di P di raggio \mathbf dx , con  \mathbf dx quantità infinitesima. Un generico punto Q  appartenente a tale intorno è individuato dal vettore \mathbf x + \mathbf {dx}.

Q=(\mathbf x \ + \ \mathbf {dx})=(x_1+dx_1, x_2+dx_2, x_3+dx_3)

Variazione di un intorno di un punto in un processo deformativo

A seguito del processo deformativo Q diventa Q’ e possiamo scrivere:

Q'=\mathbf f(\mathbf x \ + \ \mathbf {dx})

Assumendo che tale processo deformativo avvenga in modo continuo e regolare, si ha che la funzione f è differenziabile cosicché possiamo effettuare la seguente approssimazione:

\mathbf f(\mathbf x \ + \ \mathbf {dx})=\mathbf f(\mathbf x)+\mathbf F\mathbf{dx}+ o(\mathbf{dx})

con  F matrice Jacobiana di f:

\mathbf F= \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1}{\partial x_2} & \frac{\partial f_1}{\partial x_3} \\

\frac{\partial f_2}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2}{\partial x_2} & \frac{\partial f_2}{\partial x_3} \\

\frac{\partial f_3}{\partial x_1} & \frac{\partial f_3}{\partial x_2} & \frac{\partial f_3}{\partial x_3} 

\end{bmatrix}

che indichiamo per semplicità con 

\mathbf F=\begin{bmatrix}
f_{11} & f_{12} & f_{13} \\
f_{21} & f_{22} & f_{23} \\
f_{31} & f_{32} & f_{33} \\
\end{bmatrix}

Poiché il \mathbf {dx} è una quantità piccolissima il termine  0(\mathbf{dx}) è trascurabile e possiamo scrivere \mathbf f(\mathbf x \ + \ \mathbf {dx})=\mathbf f(\mathbf x)+\mathbf F\mathbf{dx}.

Facendo riferimento alla figura precedente si vede che, dovendo valere la somma vettoriale  \mathbf f(\mathbf x \ + \ \mathbf {dx})=\mathbf f(\mathbf x)+\mathbf F\mathbf{dx}, la quantità  \mathbf F\mathbf{dx} è il vettore rosso e quindi la matrice jacobana ci informa su come varia la dimensione dell’intorno di P. 

La matrice jacobiana F è detta gradiente di trasporto (essendo la matrice delle derivate parziali del campo di trasporto).

Poiché stiamo considerando corpi materiali assumiamo che valga l’ipotesi di impenetrabilità della materia: a punti distinti di  \mathbf B_0 corrispondono punti distinti di \mathbf B' . La funzione f risulta dunque essere iniettiva e quindi invertibile. L’invertibilità di f implica l’invertibilità di F cosicché tale matrice deve essere necessariamente non singolare ( det (\mathbf F)\neq 0). 

Poiché stiamo considerando un processo continuo e regolare si ha necessariamente una delle due eventualità: o  det (\mathbf F)> 0det (\mathbf F)< 0.  

Tra tutti i possibili processi deformativi possiamo trovare quello identico (atto di moto rigido) per il quale la lunghezza del vettorino  \mathbf {dx} non varia. Per tale processo il gradiente di trasporto coincide con la matrice identità, che ha determinante maggiore di zero (det \mathbf (I) = 1). Dunque poiché il determinante di F è sempre positivo o sempre negativo, e poiché tra tutti i processi ve n’è almeno uno con determinante positivo, si ha che il determinante di F è sempre positivo.

Per verificare che vale l’ipotesi di impenetrabilità della materia (conservazione della materia) bisogna dunque accertarsi che valga la condizione det(\mathbf F)> 0.


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