Il teorema della media integrale

Enunciato

Sia $f$ una funzione integrabile su un intervallo $[a,b]$ . La media integrale di $f$ su $[a,b]$ definita come $\frac{1}{b-a}\int_a^b {f(x)dx}$ soddisfa le seguenti disuguaglianze:

\inf_{x\in \left[ a,b\right] }f(x) \leq m(f;a,b) \leq \sup_{x\in [a,b]} f(x) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)

Inoltre, se $f$ è continua su $[a,b]$ , esiste almeno un punto $c$ tale che $f(c)=m(f;a,b)$ .

Dimostrazione

Poniamo $s=\inf_{x\in [ a,b] }f(x)$ e $S=\sup_{x\in [a,b]} f(x)$ .

Per ogni $x \in [a,b]$ si ha che $s\leq f(x) \leq S$ . Integrando tutti i membri tra $a$ e $b$ otteniamo:

\int_a^b s dx\leq \int_a^b f(x)dx \leq \int_a^b Sdx \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (2)

Osservando che le quantità $s$ e $S$ sono costanti, il primo e l’ultimo integrale diventano:

$\int_a^b s dx=sx|_a^b = s(b-a); \ \ \int_a^b S dx=Sx|_a^b = S(b-a)$

che sostituite nella (2) forniscono:

$s(b-a)\leq \int_a^b f(x)dx \leq S(b-a)$

da cui, dividendo per $(b-a)$ , si ha

$s\leq \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx \leq S$

che è proprio quanto volevamo dimostrare.

Dimostriamo ora la seconda parte del teorema.

Se $f$ è continua su $[a,b]$ allora $f$ assume su $[a,b]$ i valori minimo e massimo assoluti. Infatti, il teorema di Weierstrass ci assicura che se $f$ è continua su un intervallo chiuso e limitato $[a,b]$ , $f$ assume su tale intervallo i valori massimo e minimo assoluti (rispettivamente $M$ e $m$ ) e, inoltre, l’immagine di $f$ su $[a,b]$ corrisponde all’intervallo $[m,M]$ (ossia, per $x\in [a,b] \ f$ assume tutti i valori dell’intervallo $[m,M]$ ).

Nel caso di funzione continua su $[a,b]$ si ha che l’estremo inferiore di $f$ corrisponde al minimo assoluto $m$ e l’estremo superiore di $f$ corrisponde al massimo assoluto $M$ . Di conseguenza la (1) diventa

$m\leq m(f;a,b) \leq M$

e ciò ci assicura che il valore medio integrale appartenga all’intervallo $[m,M]$ . Dato che, per il teorema di Weierstrass, tale intervallo è l’immagine di $f$ su $[a,b]$ deve necessariamente esistere un punto $c\in[a,b]$ tale che $f(c)=m(f;a,b)$ .

Con ciò abbiamo dimostrato anche la seconda parte del teorema.

Significato geometrico del teorema

Nel caso di funzione positiva e continua su $[a,b]$ , si può facilmente vedere che il teorema della media integrale implica l’equivalenza tra l’area del trapezoide di $f$ su $[a,b]$ e l’area del rettangolo avente base $(b-a)$ e altezza $m(f;a,b)$ :