Il matematico Stanislaw Ulam era ventiseienne quando accettò l’invito da parte di Jhon Von Neumann di visitare l’Istituto di Studi Avanzati di Princeton, negli USA. Vi rimase per circa tre mesi. L’anno successivo ritornò e dal 1936 al 1940 fu membro della società dei Fellows ad Harvard. Ogni estate si recava nella sua città natale, Lvov, in Polonia, dove nacque il 3 aprile 1909, e terminato il periodo di vacanze ritornava negli States. Ciò fece si che si trovasse a lasciare l’Europa proprio qualche settimana prima che la Germania nazista avviasse l’invasione del suo paese nel settembre del 1939. Dal 1941 al 1943 fu assistente all’università del Wisconsin nel Madison. Nell’inverno di quest’ultimo anno notò che diversi colleghi non si recavano più a lavoro. Non riusciva a capirne il motivo. Poco tempo dopo ricevette un invito da parte di Von Neumann per svolgere un certo lavoro in campo bellico, molto importante e di cui non poteva specificare i dettagli. Incuriosito, Ulam deciso di incontrare l’amico. Lo trovò accompagnato da due uomini robusti, una sorta di guardie del corpo, grandi come gorilla. Parlarono di matematica, fisica e altri argomenti interessanti, nonché dell’importanza di questo lavoro top secret. Fu così che iniziò il periodo di Los Alamos, periodo che vide l’Europa impegnata nella Seconda Guerra Mondiale e gli scienziati, compreso Ulam, a lavorare a un grande progetto: la bomba atomica. Terminato il conflitto, temendo che i laboratori avrebbero chiuso, il matematico decise di inviare domande di insegnamento a varie università. Entrò, così, come professore di matematica all’Università della California a Los Angeles. Una sera del gennaio 1946 si recò a letto con un forte mal di testa. Il mattino seguente aveva perso la capacità di parlare. Portato immediatamente in ospedale, i medici gli forarono il cranio e scoprirono che il suo cervello era fortemente infiammato a causa di un’infezione. Fortunatamente, i dottori riuscirono a fermarla curando con la penicillina i tessuti esposti. Un giorno, durante la giacenza in ospedale, mentre giocava a carte in solitudine, si chiese quante fossero le possibilità che un solitario Canfield condotto con 52 carte terminasse con successo. Spese parecchio tempo a tentare di risolvere il problema utilizzando formule e equazioni (cosa che, tra l’altro, lo annoiava tantissimo) senza riuscirci. Aveva bisogno di un metodo più pratico, più consono alla sua persona (per capire il tipo di matematico di cui stiamo parlando, si pensi al fatto che un collega una volta lo vide alla lavagna intento a risolvere una semplice equazione di secondo grado: <<Assorto, aggrottava le sopracciglia scarabocchiando qualche formula con la sua calligrafia minuscola. Quando ricavò il risultato, si voltò e disse sollevato: “Per oggi mi sembra di aver fatto abbastanza”>>) . Pensando a come risolvere il problema, Ulam capì che sarebbe stato molto più semplice disporre più volte le carte e notare cosa succedeva: ripetendo l’esperimento un numero sufficientemente alto di volte sarebbe stato possibile ottenere informazioni sulla risposta che stava cercando. Nella primavera di quello stesso anno, ormai rimessosi, decise di abbandonare l’università e di tornare a Los Alamos, che era ben lontana dal chiudere i battenti. Il laboratorio aveva, infatti, ricevuto altri fondi governativi per la costruzione di una nuova superbomba: una bomba a idrogeno. Gli scienziati, all’arrivo di Ulam, erano alle prese con varie difficoltà e tra queste vi era quella di dover predire l’andamento della reazione a catena che si scatenava con la detonazione. Ciò significava dover calcolare la frequenza con cui gli elettroni entravano in collisione e la quantità di energia che veniva rilasciata. Era proprio questa quantità che non si poteva calcolare con la matematica convenzionale. Fu allora che Ulam si ricordò della sua partita a solitario e del metodo che aveva escogitato. Si chiese se quello stesso approccio fosse applicabile alla bomba a neutroni. Ne parlò, così, all’amico Von Neumann. L’11 marzo 1947 Neumann scrisse una lettera a Robert Richtmayer in cui parlava della possibilità di utilizzare i metodi statistici, in accordo con quanto suggerito da Ulam, per risolvere il problema della diffusione dei neutroni. Con l’aiuto di un altro collega, il fisico Nicholas Metropolis, i due definirono a grandi linee come risolvere la reazione simulando ripetutamente collisioni di neutroni. E fu proprio Metropolis a decidere il nome di questo nuovo metodo, prendendo spunto dall’abilità nel gioco di uno zio di Ulam: lo chiamò metodo Monte Carlo. La prima analisi con il metodo Monte Carlo, applicato alle reazioni a catena dei neutroni, fu condotta nel 1947, presso l’Aberdeen Proving Ground, utilizzando l’ENIAC, il primo computer elettronico general purpose della storia. Il metodo richiedeva la generazione di numeri casuali e ciò poteva essere ottenuto con mezzi fisici (contando, ad esempio, il numero di radiazioni che colpivano un contatore geiger) o con mezzi aritmetici (usando un’opportuna funzione generatrice). Neumann propose il metodo Middle-Square per ottenere numeri casuali di n cifre. Funziona così: si sceglie un numero di n cifre; lo si eleva al quadrato; si sceglie come numero successivo della sequenza quello costituito dalle n cifre centrali del numero ottenuto alla prima iterazione; si ripete il procedimento elevando al quadrato il secondo numero.

Il Middle-Square presenta, però, varie patologie:

– se le n cifre centrali sono zeri, il metodo continuerà a generare sempre zeri;
– se la prima metà del numero è costituita da zeri, la sottosequenza di numeri convergerà a zero;
– il periodo con cui si ripresentano gli stessi numeri è breve se n è piccolo. Ad esempio se il numero     iniziale è 6100, quindi n=4, si ottengono:
6100^2 -> 37210000
2100^2 -> 4410000
4100^2 -> 16810000
8100^2 -> 65610000 -> si riottiene il 6100 di partenza.
E’ ovvio che un algoritmo matematico, in realtà, può produrre solo numeri pseudocasali. Come lo stesso Nuemann disse: <<Chiunque prenda in considerazione metodi aritmetici per generare cifre casuali sta ovviamente compiendo peccato>>.
Con gli anni, il potere di calcolo dei calcolatori crebbe sempre di più e con esso crebbe anche la disponibilità di buoni insiemi di numeri casuali, cosicchè il metodo Monte Carlo divenne uno strumento molto importante per gli scienziati.
Il metodo vide un successivo miglioramento grazie al contributo di un talentuoso matematico russo: Andrei Markov. In un articolo del 1907 scrisse come alcuni tipi di eventi casuali avevano incorporata una forma di memoria. Ad esempio, mischiando un mazzo di carte, la composizione del mazzo alla fine del processo dipende da com’erano disposte le carte all’inizio. Se rimescoliamo il mazzo, il risultato dipenderà solo dalla posizione precedente delle carte e non più da quella con cui era partita all’inizio: il risultato dipende, quindi, solo dallo stato immediatamente precedente all’attuale e non da tutti gli antecedenti. Tale proprietà è nota come proprietà di Markov. Se l’evento casuale si ripete diverse volte si ottiene una catena di Markov.
A Los Alamos, il team di Metropolis si stava arrovellando su come le particelle entrassero in collisione tra loro. Dopo aver combattuto con il problema per anni, i ricercatori capirono che unendo il metodo Monte Carlo con una catena di Markov sarebbero riusciti a dedurre le proprietà delle sostanze composte da molecole interagenti. Grazie alla memoria markoviana, infatti, sarebbero riusciti a migliorare gradualmente le ipotesi di lavoro riuscendo, infine, a svelare i valori delle grandezze non  osservabili direttamente. Alla tecnica venne dato il nome di metodo di Monte Carlo basato su catena di Markov. 

Il Monte Carlo è molto usato in molte discipline come la fisica statistica e l’ingegneria, dove si presta bene a risolvere problemi legati alla fluidodinamica o problemi come la determinazione della dose di radiazioni assorbite dagli astronauti nello spazio; in economia e finanza è utilizzato per prezzare i derivati e le opzioni non standard; in ottica, per simulare l’illuminazione naturale; in chimica computazionale il Monte Carlo quantistico è un metodo per la determinazione della struttura elettronica etc…Ulam ha dato, così, il via ad un nuovo modo di ricavare la soluzione di un problema: anzichè scrivere e tentare di risolvere un set di difficili equazioni, si lascia il lavoro al computer che determina la soluzione del problema generando numeri pseudocasuali.

 


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