Perché in matematica meno per meno fa più?

Per mostrare perché in matematica meno per meno faccia più non utilizzerò la formalità propria della matematica ma cercherò di definire con un filo logico e coerente i passaggi che hanno portato all’ormai ben noto concetto che meno per meno fa più.

Iniziamo con il ricordare che i Numeri Naturali (il cui insieme è indicato con $\mathbb{N}$ ) sono i numeri con cui abbiamo a che fare ogni giorno: $0,1,2,3,\ldots,$ e così via.

Ora, già la semplice equazione $x+1=0$ non è risolvibile in $\mathbb{N}$ : il suo risultato è infatti $x=-1$ ma $-1 \notin \mathbb{N}$ .

Per rendere risolvibili equazioni di questa tipologia è allora necessario introdurre un nuovo insieme numerico contenente questa tipologia di numeri.

Tale insieme lo indichiamo con $\mathbb{Z}$ e lo chiamiamo Insieme dei Numeri Interi.

Questo nuovo insieme non viene creato dal nulla ma costruito a partire dall’insieme dei numeri naturali e in particolare modo dall’insieme

$\mathbb{N\times N}=\{ (n,m)|n\in \mathbb{N},m\in \mathbb{N} \}$ ,

cioè l’insieme costituito da tutte le coppie di due numeri naturali del tipo $(1,2), (3,5), (0,7)$ etc.

All’interno dell’insieme $\mathbb{N\times N}$ possiamo definire la seguente relazione $\rho$ :

$(x_1,y_1)\rho(x_2,y_2) \iff x_1+y_2 =y_1+x_2 \ \ \ \ \forall (x_1,y_1),(x_2,y_2) \in \mathbb{N \times N}$

La relazione su scritta ci dice questo: due elementi $(x_1,y_1)$ e $(x_2,y_2)$ dell’insieme $\mathbb{N\times N}$ sono relazionati mediante $\rho$ se e solo se essi soddisfano l’equazione $x_1+y_2 =y_1+x_2$ .

Ad esempio le coppie $(2,1)$ e $(3,2)$ soddisfano questa relazione dal momento che $2 + 2 = 3 + 1$ e quindi possiamo scrivere $(2,1)\rho (3,2)$ .

Lo stesso vale per gli elementi $(4,3)$ e $(5,4)$ .

$\rho$ è una relazione di equivalenza dal momento che è

riflessiva (ogni elemento è relazionato a se stesso)
simmetrica (se A è relazionato a B allora B è relazionato ad A)
transitiva (se A è relazionato a B e B è relazionato a C allora anche A è relazionato a C)

Mediante la relazione di equivalenza $\rho$ possiamo definire il nuovo insieme:

$[a, b] := [a, b]_{ρ} = \{ (x, y) \in \mathbb{N \times N} : a + y = b + x \}$

cioè l’insieme degli elementi $(x,y)$ di $\mathbb{N\times N}$ che soddisfano l’equazione $a + y = b + x$ .

Ad esempio l’insieme $[1,0] := [1,0]_ρ$ è costituto da tutte le coppie di numeri $(x,y)$ tali che

$1+y=0+x$ cioè $1+y=x$ .

Se consideriamo un reticolo $\mathbb{N \times N}$ si ha che il generico insieme $[a,b]$ è costituito da tutte le coppie di numeri che giacciono sulla semiretta passante per $[ a,b ]$ :

Le seguenti coppie, ad esempio, appartengono all’insieme $[1,0]$ in quanto verificano la relativa equazione:

$(2,1) \rightarrow 1+1=2$ , $(3,2) \rightarrow 1+2=3$ , $(4,3) \rightarrow 1+3=4$ $(5,4) \rightarrow 1+4=5$

L’Insieme dei Numeri Interi è allora definito proprio come l’insieme

$\mathbb{Z} = \{ …, [0,n], …, [0,2], [0,1], [0,0], [1,0], [2,0], …, [n,0], … \}$

Matematicamente parlando, l’insieme dei Numeri Interi è l’insieme quoziente

$\mathbb{Z} := \mathbb{N \times N}/\rho$

e i suoi elementi, cioè i numeri interi, sono gli insiemi della forma $[n,0]$ e $[0,n]$ , che rappresentano le classi di equivalenza modulo $\rho$ .

Le classi di equivalenza sono importanti perché ci permettono di riunire elementi che hanno uno stesso comportamento, quindi piuttosto che studiare tutti gli elementi della classe basta studiarne uno (detto rappresentante) dal momento che i risultati che si trovano varranno anche per gli altri.

A questo punto si adottano le seguenti notazioni:

$−n:=[0,n] \ \ \ \ \forall n\in \mathbb{N}$ $n:=[n,0] \ \ \ \ \forall n\in \mathbb{N}$ $0=[0,0]$

Quindi, gli interi negativi che indichiamo con $-n$ non sono altro che le classi di equivalenza $[0,n]$ mentre gli interi positivi, indicati con $n$ , sono le classi di equivalenza $[0,n]$ .