“To not know mathematics is a severe limitation to understanding the world!” – Richard Feynman

Introduzione

Spesso sentiamo di parlare di ottimizzazione del tempo, soluzione ottima e altri concetti affini. Ciò che molti non sanno è che l’ottimizzazione è una branca della matematica applicata che studia la teoria e i metodi per la ricerca dei punti di massimo e minimo di una funzione; in tal modo è possibile ottenere un modello matematico che traduce in termini matematici un dato problema. Facciamo un esempio classico che è quello della dieta: un dietologo deve stilare una dieta determinando la quantità di cibo che una persona deve consumare giornalmente in modo da garantire un sufficiente apporto di sostanze nutritive (vitamine, proteine, carboidrati, etc..). I dati di cui dispone il dietologo sono: i cibi differenti che il paziente può assumere, le sostanze nutritive che deve assumere giornalmente, la quantità di una determinata sostanza nutritiva presente in una certa quantità di cibo, la quantità minima di sostanze nutritive che la dieta deve garantire, il costo del cibo. A questo punto il il compito del dietologo è quello di determinare la quantità dei vari cibi che il paziente deve consumare giornalmente al fine di garantire il giusto apporto nutrizionale. Al tempo stesso, tra tutte le diete ammissibili, il dietologo deve scegliere la più economica.
Quello che ho appena presentato è un problema di Programmazione Lineare ed è famoso in letteratura perchè è stato il primo problema economico ad essere risolto con l’ausilio della programmazione lineare. Quindi, quando parliamo di ottimizzazione, intendiamo il processo di ricerca di una configurazione ottimale rispetto a una qualche funzione costo, al variare di dati paramentri. Per configurazione intendiamo uno stato del sistema in esame, cioè ogni particolare combinazione dei parametri che caratterizzano il sistema. Assumeremo che la bontà di une certa configurazione possa essere espressa da un singolo numero reale: un costo economico, un’energia potenziale, la quantità dei difetti di un materiale e così via. Ad esempio, tutti sappiamo che lasciando andare un pendolo da una posizione che formi un certo angolo con la verticale passante per la sua cerniera, esso a sueguito delle oscillazioni, si disporrà nel punto più basso della traiettoria: ha scelto la posizione che minimizza la sua energia potenziale gravitazionale. In questo esempio, la configurazione del sistema è individuata dalla posizione del pendolo, che possiamo descrivere attraverso le sue coordinate spaziali. Tali coordinate rappresentano lo stato; l’energia potenziale si esprime in tal caso come funzione dello stato.
Si osservi che nei due esempi citati ho parlato di minimizzazione di una funzione. Avrei potuto parlare anche di massimizzazione, in quanto a un problema di minimo è associato un problema di massimo, che è detto suo problema duale, ma non mi soffermerò sulla cosa, voglio solo specificare che le funzioni obiettivo del problema primale (quello di minimo) e del problema duale (quello di massimo) assumono lo stesso valore in corrispondenza delle soluzioni ottimali. Ma veniamo al titolo dell’articolo e capiamo perche le bolle di sapone risolvono un problema di minimizzazione.

Bolle di sapone

Le bolle di sapone sono costituite da una sottilissima pellicola di acqua e sapone che assume configurazioni particolari. Quella che stiamo cercando è la configurazione che descrive la forma della superficie. Nell’affrontare tale problema lavoriamo in uno spazio di dimensione infinita, e con tale spazio non intendo lo spazio tridimensionale all’interno del quale viviamo e si trovano le bolle, bensì intendo lo spazio di tutte le configurazioni possibili. Tale spazio non è quindi uno spazio tangibile, materiale bensì uno spazio astratto. E dove la concretezza manca, è la formalizzazione matematica che ci fornisce uno strumento potente.
La pellicola della bolla di sapone è caratterizzata microscopicamente dalla presenza di forze tra le molecole che complessivamente originano la tensione superficiale. Capiamo meglio il fenomeno. Consideriamo dell’acqua in un bicchiere. Una molecola interna al liquido, lontano dalla superficie, è circondata da tante altre molecole simili che la attraggono. Tale molecola, sotto l’azione delle forze di attrazione, tenderà a spostarsi un poco, ma in media, nel tempo, manterrà la propria posizione. Se invece consideriamo una molecola vicino alla superficie, essa sentirà le forze attrattive delle molecole vicine che però si trovano sotto o accanto ad essa. Ne segue che le molecole superficiali sono attratte di più verso l’interno del liquido stesso e ciò fa si che il liquido si comporti come se su esso ci fosse una pellicola invisibile che lo tiene unito. Ora, il sapone è un tensioattivo, cioè una sostanza che ha la proprietà di abbassare la tensione superficiale di un liquido cosicchè si ha una minore coesione della sua superficie. La lamina liquida delle bolle si comporta come una membrana elastica cosicchè piuttosto che parlare di equilibrio di forze è più opportuno introdurre un’energia di tipo elastico, osservando che una situazione di equilibrio delle forze corrisponde a una configurazione in cui si ha un minimo dell’energia potenziale elastica. Nel caso delle bolle di sapone, l’energia dovuta alla tensione superficiale risulta proporzionale alla superficie, inoltre l’aria racchiusa all’interno della bolla non può fuoriuscire, cosicchè è presente anche un vincolo di volume. Poichè la pressione esercitata dalla superficie della bolla sull’aria interna è piccola, si può immaginare che il volume interno sia una quantità prestabilita. A questo punto è chiaro cosa bisogna fare: dato un certo volume, vogliamo determinare la forma della superficie chiusa di minima estensione che possa contenerlo. Intuitivamente, la superficie in questione risulta essere una sfera ma tralascerò la dimostrazione matematica della cosa. Ci si potrebbe anche domandare quale sia la configurazione che assume una pellicola di sapone racchiusa da una curva prestabilita. Non mi soffermerò su questa problematica, ma agli interessati dico che a questo tipo di problema ci si riferisce come problema di Plateau. Il problema di Plateau, consistente nel dimostrare l’esistenza di una superficie minima corrispondente ad un determinato bordo, fu proposto da Lagrange nel 1760, ma prende il nome da Joseph Plateau, che fece esperimenti su di esso tramite bolle di sapone. Questo problema è importante nel calcolo delle variazioni, un campo dell’analisi matematica che si occupa della ricerca dei punti estremali (massimi e minimi) dei cosiddetti funzionali, ovvero funzioni il cui dominio è a sua volta un insieme di funzioni, e delle loro proprietà.

Strade e incroci

Nel problema sopra esposto, ciò che cercavamo era una superficie, cioè un oggetto bidimensionale vivente in uno spazio tridimensionale. Va da sè che possiamo affrontare la stessa tipologia di problemi anche diminuendo la dimensione dello spazio di lavoro, ottenendo, tra le altre cose, un problema più semplice. Consideriamo di dover costruire delle strade che congiungano quattro città poste ai vertici di un quadrato.
Al fine di semplificare il problema, assumiamo che il costo della costruzione sia proporzionale alla lunghezza della strada: va da sè che è quest’ultima la quantità che, quindi, vogliamo minimizzare. E’ ovvio, o almeno spero che lo sia, che la strada deve essere sicuramente costituita da tratti rettilinei (coloro che non lo ritengono ovvio pensino che se considerassi tratti curvi (archi) potrei sempre prendere la corda sottesa, che ha lunghezza minore dell’arco). Un’altra soluzione che non va presa in considerazione è quella che usa i quattro lati del quadrato: per come è posto il problema, si vuole solo che ci sia una strada collegante le quattro città, e quindi si può eliminare un lato raggiungendo comunque l’obiettivo desiderato. A questo punto, considerando per semplicità il quadrato di lato unitario, così come il prezzo, la configurazione ha costo 3. Possiamo migliorare la soluzione considerando, al posto dei tre lati le due diagonali (ogni diagonale ha lunghezza \sqrt{2}) cosìcchè il costo della configurazione diventa $latex  2\sqrt{2}=2,82<3$. Senza procedere ulteriormente per tentativi, in Figura è mostrata la soluzione esatta del problema, soluzione che direi poco inuitiva (se ci siete arriviati intuitivamente buon per voi). Essa e costituita da 5 segmenti, con due incroci (detti incroci di Steiner) a  120°  e il costo complessivo è 1+\sqrt{3}. A questo punto dovrei dimostrare che questa è effettivamente la soluzione migliore (\textit{avrei anche dovuto dimostrare che esiste una soluzione migliore}) ma non è lo scopo di questo articolo e dunque vi chiedo di fidarvi. Specifico solo che un’altra soluzione ottima è quella che si ottiene ruotando la soluzione mostrata di  90°. Veniamo all’ultima parte del titolo.

 

 

Bolina

Si consideri un’imbarcazione a vela, in mare aperto, con vento proveniente da Nord. Per semplificare la trattazione supponiamo che la vela sia perfettamente piatta e che la barca si possa muovere solo lungo la direzione in cui è orientata. Orientata la barca lungo una certa direzione vogliamo capire l’orientazione che dobbiamo dare alla vela al fine di ottenere la massima spinta possibile. E’ ovvio, o almeno dovrebbe esserlo, che se la prua della nave punta a nord la vela nuon può essere di alcun aiuto e la velovità che riusciremmo a ottenere è pari a zero. Disegnamo i punti che possono essere raggiunti dall’imbarcazione orientando la barca in una certa direzione. L’insieme di tali punti avrà una forma del tipo indicata in Figura. 
Come si vede, l’insieme di tali punti è non convesso (ricordo che un insieme è convesso se presi due punti qualunque nell’insieme, il segmento che li congiunge è tutto contenuto nell’insieme). La conseguenza, direi a dir poco interessante, di questo fatto è che l’insieme dei punti raggiungibili in un tempo assegnato è più grande dell’insieme E: si tratta del suo \textit{inviluppo convesso} (l’inviluppo convesso di un insieme E è il più piccolo insieme convesso che contiene E). Un punto y dell’inviluppo convesso di E è contenuto in un segmento avente entrambi gli estremi x_1 e x_2 in $E$, quindi è possibile raggiungere il punto y muovendosi prima lungo la direxione x_1-x e poi lungo la direzione x_2-x, ovviamente con la giusta proporzione tra i due moti. E’ proprio questa la bolina: un’andatura che consente alla barca a vela di risalire il vento.
Considernado un’imbarcazione effettiva possiamo giustificare l’andatura anche fisicamente: il flusso di aria che si genera attorno a una vela (o a un qualunque corpo immerso in un qualsivoglia fluido in moto) causa una variazione della velocità locale in ogni punto della vela. Essendo l’aria un fluido, a una variazione di velocità corrisponde una variazione di pressione. La pressione agisce sulla vela: immaginando di suddividere la vela in tanti piccoli pezzetti e considerando i contributi della pressione agente su tali pezzetti sia dalla parte sopravento sia da quella sottovento, si ottiene la forza totale del vento agente sulla vela, detta portanza. La linea di azione della portanza è, in prima approssimazione, perpendicolare alla corda media della vela. Il profilo di una vela esposta al vento divide il flusso d’aria in due segmenti; a causa della curvatura della vela, in uno dei due segmenti (quello sopravvento) il fluido scorre più lentamente, avendo meno “strada” da percorrere, rispetto a quello che scorre sulla superficie esterna della vela, più ampia, (sottovento). Le differenti velocità comportano, secondo il principio di Bernoulli, l’instaurarsi di una differenza di pressione tra le due facce della vela. La pressione interna (sopravvento) è superiore a quella esterna (sottovento), e si genera così una spinta sulla vela, approssimativamente perpendicolare al verso del vento, e di conseguenza un avanzamento dell’imbarcazione. Questo principio, abbinato all’uso della deriva, permette alla barca di avanzare di bolina, in linea retta. Quindi, il fatto che l’insieme dei punti raggiungibili da una barca a vela presenta tratti rettilinei è dovuto alla necessità di convessifivare una regione inizialmente non convessa.

Conclusioni

Ed eccoci giunti alla fine di questo breve (ma non troppo) articolo. Non ho fornito dimostrazioni, non ho parlato dei teoremi di Fermat, di Weierstrass, di Lagrange, dei teoremi di equilibrio e di ottimalità, ciò che ho fatto è stato solo (spero) instillare dei dubbi, dei punti interrogativi, suscitare in alcuni di voi curiosità. Qualcuno si chiederà il perchè. Molte delle cose che ho scritto sono state dette e ridette, trite e ritrite, quasi a formare una conoscenza ormai implicita in molti di noi (tutti sappiamo che se poggiamo una graffetta sull’acqua essa non affonda, o che alcuni insetti riescono a camminare sulla superficie dei liquidi). Perchè dunque riparlarne? Perchè vedo che molte persone vedono sempre di più al futuro, al progresso, travolte dall’inesauribile corsa dell’avanzamento tecnologico. Ma la conoscenza, la vita, è come un edificio a cui, con il passare del tempo, aggiungiamo piani, nel quale creiamo nuove stanze, nuovi setti, apportiamo modifiche, creiamo terrazzi e balconi. Bhè, una simile struttura non può continuare a reggere per sempre se non controlliamo le fondamenta, se non rafforziamo la struttura portante dalla base, se dimentichiamo di controllare il terreno su cui essa poggia. E’ questo il motivo per cui riparlo di fatti già noti ai più: per non dimenticare, per andare ad approfondire quelle nozioni che, intuitivamente, già si conoscono, per chiedervi di non fermarvi alle apparenze.

 

 


Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato.