Ci sarà capitato qualche volta di trovarci in una classe di coetanei e scoprire di non essere gli unici a festeggiare il compleanno in un certo giorno. Che coincidenza! Sembra un evento davvero improbabile che in una classe di 20/25 persone due compiano gli anni lo stesso giorno. In realtà non è così e la questione è appunto nota come paradosso dei compleanni.

Per comprendere il perché non sia così raro condividere il proprio compleanno con almeno un altro componente della classe dobbiamo tirare in ballo gli strumenti propri del calcolo delle probabilità.

Numeriamo i giorni dell’anno da 1 a 365 (stiamo quindi assumendo che l’anno non sia bisestile) e assumiamo che la classe oggetto di esame sia costituita da 30 persone. Lo spazio campionario naturale per la modellizzazione del fenomeno è dato dalle disposizioni con ripetizioni di 30 elementi estratti dall’insieme dei giorni dell’anno. Matematicamente, chiamando \Omega lo spazio campionario, si ha che \Omega=\{ f: \{ 1,\dots , 30 \} \rightarrow \{1, \dots , 365 \} \}. La cardinalità di tale insieme è |\Omega|=365^{30} .

L’evento che stiamo considerando (cioè che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno) è dato da  A=\{f \in \Omega:f  non è iniettiva \}.

In parole povere, tra tutte le funzioni che vanno dall’insieme \{1, \dots , 30\}  all’insieme \{1, \dots, 365 \}  quelle che rappresentano il nostro evento sono le funzioni non iniettive perché solo per tali funzioni siamo sicuri che almeno due degli elementi di  \{1, \dots, 30 \} abbiano la stessa immagine (uno dei 365 giorni dell’anno}.

Considerando  (\Omega, P) uno spazio di probabilità uniforme si ha che, detta p_{30}  la probabilità dell’evento a cui siamo interessati,

                                    p_{30}=P(A)=1-P(A^c)=1-\frac{|A^c|}{|\Omega|},


dove |A^c|=|\{f \in \Omega:f è iniettiva \}|=\frac{365!}{(365-30)!}=\prod_{i=0}^{29}(365-i).

Sostituendo nella formula su scritta si ha:

                                  p_{30}=\frac{\prod_{i=0}^{29}(365-i)}{365^{30}}=1-\prod_{i=0}^{29}\frac{365-i}{365}=0.71,


cioè c’è una probabilità del 71% che almeno due persone compiano gli anni lo stesso giorno, un valore sicuramente maggiore a quello che ci saremmo aspettati. Per avere una probabilità maggiore o uguale al 50% bastano 23 persone, mentre in un insieme di 50 coetanei tale probabilità è maggiore del 97%.

Tale probabilità elevata può essere giustificata considerando che ciò che conta in realtà non è il numero di persone bensì il numero di coppie che esse formano. Per un insieme di 30 persone si ha che il numero di coppie è  \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 29=435.


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