<< Dobbiamo concludere che ci sono tanti quadrati quanti i numeri >>
Le parole su scritte appartengono a Salviati, personaggio creato da Galileo per spiegare teorie matematiche e filosofiche all’interno dei suoi “Dialoghi”. La citazione fa riferimento a un passo dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze (1638), in cui l’autore dimostra che un insieme infinito, come quello dei numeri naturali ( cioè i numeri interi non negativi ), contiene lo stesso numero di elementi di un suo sottoinsieme proprio: quello dei suoi quadrati.
Com’è possibile?
Per comprendere ciò che qui si sta affermando, è bene definire cosa voglia dire contare. Quando contiamo degli elementi, ad esempio il numero di libri su un tavolo, il numero dei giorni che mancano all’apertura della scuola, il numero di esami che mancano alla laurea e così via, non facciamo altro che definire una corrispondenza uno-a-uno tra gli elementi e l’insieme dei numeri naturali (1 2 3 4 5 . . .) cominciando dal numero 1 e continuando in ordine crescente fino a che le entità da contare non terminano. Il numero naturale associato all’ultimo oggetto, rappresenta il numero totale degli elementi appartenenti al gruppo. Fin qui, poichè stiamo considerando insiemi finiti, è tutto abbastanza regolare e non si creano paradossi, o almeno spero.
Galileo pensò di applicare questa stessa tecnica di conteggio agli insiemi infiniti, tentando quindi di contare tutti i quadrati: assegnò al primo quadrato, che è 1, il numero 1 (che il numero di partenza quando iniziamo a contare), al secondo quadrato, che è 4, il numero 2 e così via:
1 -> 1
4 -> 2
9 -> 3
16 -> 4
25 -> 5
…
Notate qualcosa di strano? Contando i numeri quadrati si scopre che ci sono tanti quadrati quanti sono i numeri interi positivi!!!
Viene da chiedersi che fine hanno fatto, in tale procedura di conteggio, i numeri che non sono quadrati ed è proprio qui che sta il paradosso.
Galileo scoprì, allora, che un insieme infinito presenta lo stesso numero di elementi di un suo sottoinsieme proprio.
Il matematico tedesco David Hilbert, per mostrare la corrispondenza uno-a-uno di un insieme infinito con un suo sottoinsieme proprio, raccontava la seguente storia:
L’albergo infinito ha un numero infinito di stanze ma sfortunatamente, quando arrivate in albergo, il direttore vi dice che sono tutte occupate e non ci sono posto disponibili. “Ma voi avete un numero infinito di stanze, o no?” ribattete voi. “Sì, questo è vero” dice il direttore “ma tutte le nostre stanze sono occupate. Non ne è rimasta libera nemmeno una.” Vi grattate il capo. Un numero infinito di stanze; tutte occupate. Poi vi viene un’idea: “Fate così” suggerite al direttore: “Spostate la persona che è nella stanza 1 nella stanza 2, quella che è nella stanza 2 nella stanza 3, quella che è nella stanza 3 nella stanza 4, quella che è nella stanza 4 nella stanza 5 e così via all’infinito. Dal momento che avete un numero infinito di stanze, potrete continuare a spostare tutti i vostri ospiti, e così adesso la stanza numero 1 è disponibile per me”.
In realtà, ci si potrebbe accaparrare un numero infinito di stanze vuote facendo quanto ha fatto Salviati nel libro di Galileo: spostiamo la persona che è nella stanza 2 nella stanza 4, quella che è nella 3 la spostiamo nella 9 e così via…
