Non viene detto spesso che la meccanica classica si sviluppò seguendo due strade diverse: quella della meccanica vettoriale e quella del principio delle velocità virtuali.

La prima deriva direttamente dalle leggi di Newton e mette in evidenza il fatto che ogni sistema materiale può considerarsi composto da particelle che si muovono secondo l’equazione vettoriale  \mathbf{F}=m \mathbf{a}.

Il principio delle velocità virtuali, oggi più frequentemente chiamato principio dei lavori virtuali o degli spostamenti virtuali, ha trovato il suo sviluppo nell’ambito della statica ed è ritenuto avere origini antiche: già Leonardo Da Vinci lo conosceva in una forma rudimentale mentre Galileo riconobbe che esso poteva essere applicato a macchine semplici. Fu però Jean Bernoulli il primo a dargli una formulazione generale che si adattava bene a quasi tutti i sistemi meccanici. Nonostante tutto, solo nel diciottesimo secolo vennero sviluppati intensivamente gli strumenti matematici necessari all’applicazione del principio dei lavori virtuali.

In tale campo i contributi maggiori si devono al matematico francese Lagrange, i cui lavori, insieme a quelli di D’Alembert ed Hamilton, ne permisero l’applicazione anche nel campo della cinetica.

Analizziamo un pò la logica che sta alla base del principio dei lavori virtuali.

Dovremmo sapere che la legge dell’energia cinetica asserisce che il lavoro di tutte le forze (interne ed esterne) agenti su un sistema materiale eguaglia l’incremento di energia cinetica del sistema:

W=\Delta T.

Tale legge è una rivisitazione moderna della legge della forza viva di Leibniz e vale, ovviamente, in un sistema di riferimento inerziale. Infatti, sebbene \Delta T cambi da un sistema di riferimento Newtoniano all’altro (poiché cambia l’espressione della velocità di ogni particella) anche il lavoro  W cambia e quindi il principio non è violato.

La legge dell’energia cinetica conduce in maniera naturale a un principio generale di statica.

Quando un sistema meccanico inizia a muoversi, esso guadagna energia cinetica: le forze agenti sul sistema (sia quelle interne che quelle esterne) stanno compiendo un lavoro positivo. Di conseguenza, un sistema non può muoversi spontaneamente a meno che esso non possa compiere spostamenti arbitrariamente piccoli per i quali il lavoro di tutte le forze è positivo. Quindi il movimento spontaneo è impossibile per qualunque spostamento arbitrariamente piccolo se il lavoro svolto dalle forze è minore o uguale a zero.

Chiamiamo questi piccoli spostamenti spostamenti virtuali dal momento che essi non sono necessariamente realizzati. Analogamente, il lavoro relativo a tali spostamenti è detto lavoro virtuale W' .

Abbiamo già detto che il lavoro dipende dalla velocità. Al fine di eliminare tale dipendenza, supponiamo che gli spostamenti virtuali siano eseguiti con velocità infinitesima ponendo attenzione al fatto che le forze agenti sul sistema in moto con tale velocità non sono necessariamente le stesse agenti sul sistema in quiete (si pensi alla forza di attrito dinamico).

Dunque possiamo asserire che un sistema meccanico fermo resta tale se W' \leq 0 per ogni spostamento virtuale piccolo che sia consistente con i vincoli. Tale asserzione è nota come disuguaglianza di Fourier e può essere applicata anche alle traslazioni a velocità costante poiché attraverso una semplice cambio di sistema di riferimento tale traslazione uniforme viene annullata. Possiamo quindi dire che un sistema materiale è in equilibrio se le condizioni sono tali che esso resti in quiete in un sistema di riferimento inerziale.

Supponiamo che un sistema materiale subisca uno spostamento virtuale da una configurazione X_0 a una configurazione X. A meno che il sistema non possieda una fonte illimitata di energia è chiaro che l’insieme dei possibili valori assumibili dal lavoro virtuale è limitato superiormente. Chiamiamo W l’estremo superiore di tale insieme. Allora W' \leq W per tutti i cammini ammissibili da X_0 a X .

W, che non viene necessariamente assunto per sistemi infiniti, dipende solo dalle posizioni iniziale e finale, cioè è funzione di X_0  e X : W=W(X_0, X) . Conseguentemente, la disuguaglianza di Fourier può essere espressa dicendo che un punto X_0  nello spazio delle configurazioni è uno stato di equilibrio se  W(X_0,X) \leq 0)  per tutti i punti X  in un intorno di X_0.

Gli spostamenti virtuali sono assunti avvenire adiabaticamente cosicché la prima legge della termodinamica conduce a W_i'=-\Delta U , dove W'  è il lavoro svolto dalle forze interne e \Delta U è l’aumento di energia interna del sistema. Poiché il lavoro virtuale è dato dalla somma di quello interno e quello esterno (W'=W_i'+W_e') la disuguaglianza di Fourier può essere riscritta come W_e' \leq \Delta U, infatti:

W'\leq 0 \rightarrow W_i'\ + W_e' \leq 0 \rightarrow -\Delta U\ +W_e' \leq 0 \rightarrow W_e' \leq \Delta U.

Dunque l’equilibrio esiste se non c’è alcuno spostamento virtuale adiabatico arbitrariamente piccolo per cui il lavoro delle forze esterne superi l’aumento di energia interna del sistema.

La disuguaglianza di Fourier è una condizione sufficiente ma non necessaria per l’equilibrio: se consideriamo una palla in equilibrio su una cupola, il lavoro svolto dalla forza di gravità è positivo per ogni spostamento arbitrariamente piccolo della palla. Tuttavia, il lavoro svolto dalla forza di gravità è un infinitesimo di ordine superiore rispetto allo spostamento compiuto dal corpo.

Dunque l’equilibrio sembra prevalere se W' è stazionario, nel senso che è un infinitesimo di ordine superiore rispetto agli spostamenti nello spazio delle configurazioni. In termini matematici possiamo dire che se X è un punto appartenente a un intorno di  X_0 nello spazio delle configurazioni, s  è la distanza tra questi due punti e W=W(X_0,X)  è a funzione di cui sopra, allora il punto X_0 è un punto di equilibrio se lim\frac{W}{s} \leq 0  per X  che tende a X_0 lungo ogni cammino ammissibile. L’affermazione costituisce il principio dei lavori virtuali o degli spostamenti virtuali. La condizione lim \frac{W}{s} \leq 0 è sufficiente ma non necessaria per l’equilibrio.

Se però consideriamo forze che cambiano in modo continuo durante uno spostamento virtuale, cioè se il sistema è reversibile, si ha che una condizione necessaria e sufficiente  per l’equilibrio è lim \frac{W}{s}=0  per ogni spostamento virtuale ammissibile. Va detto che ciò vale nel caso finito dimensionale poiché se il sistema è composto da un numero infinito di particelle bisogna aggiungere l’ipotesi aggiuntiva che l’ordine dei limiti sia scambiabile cioè bisogna assicurarsi che il limite della somma di tutti i lavori compiuti sulle singole particelle sia uguale alla somma dei limiti.

É molto utile ricorrere alla forma variazionale del principio dei lavori virtuali. Spesso, infatti, è possibile esprimere la funzione W=W(X_0,X)  come

  W=\delta W \ + \frac{1}{2!} \delta^2W \ +O(s^3)

dove \delta W  e \delta^2 W  indicano rispettivamente i funzionali omogenei lineare e quadratico rispetto alla variabile geometrica.

Se il sistema ha un numero finito di gradi di libertà l’espressione di  W è giustificata dal teorema di Taylor mentre nel caso di infiniti gradi di libertà i termini lineare e quadratico vanno interpretati nel senso del calcolo delle variazioni (sono la variazione prima e seconda di  W).

Secondo quanto appena visto il teorema dei lavori virtuali può essere espresso mediante l’usuale espressione \delta W \leq 0 , la quale è, però, meno generica rispetto a lim \frac{W}{s}=0  dal momento che non sempre W  può essere scritta come W=\delta W \ + \frac{1}{2!} \delta^2W \ +O(s^3) . Nel caso di sistemi reversibili, qualora \delta W  esista, si ha  \delta W=0 per ogni spostamento virtuale ammissibile.


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