Massimi e minimi relativi e assoluti per funzioni di due variabili

Massimi e minimi relativi

Consideriamo una funzione

$\displaystyle f:A\subseteq\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R}.$

Siamo interessati alla ricerca dei massimi e dei minimi della funzione, distinguendo innanzitutto tra estremi relativi ed estremi assoluti.

Definizione

Massimo relativo

Un punto

$\displaystyle P_0=(x_0,y_0)\in A$

è un punto di massimo relativo per $f$ se esiste un intorno $U$ di $P_0$ tale che

$\displaystyle f(x,y)\leq f(x_0,y_0)$

per ogni $(x,y)\in U\cap A$ .

Definizione

Minimo relativo

Un punto

$\displaystyle P_0=(x_0,y_0)\in A$

è un punto di minimo relativo per $f$ se esiste un intorno $U$ di $P_0$ tale che

$\displaystyle f(x,y)\geq f(x_0,y_0)$

per ogni $(x,y)\in U\cap A$ .

Idea geometrica

Il termine relativo indica che confrontiamo il valore della funzione in $P_0$ soltanto con i valori assunti nei punti sufficientemente vicini a $P_0$ .

Teorema di Fermat e punti stazionari

Teorema di Fermat

Sia

$\displaystyle f:A\subseteq\mathbb{R}^2 \longrightarrow \mathbb{R},$

con $A$ aperto, e sia

$\displaystyle P_0=(x_0,y_0)\in A.$

Supponiamo che $f$ sia differenziabile in $P_0$ . Se $P_0$ è un punto di massimo relativo o di minimo relativo per $f$ , allora

$\displaystyle \nabla f(x_0,y_0)=\mathbf 0.$

Equivalentemente,

$\displaystyle \begin{cases} f_x(x_0,y_0)=0,\\[2mm] f_y(x_0,y_0)=0. \end{cases}$

Un punto $P_0=(x_0,y_0)$ tale che

$\displaystyle \nabla f(x_0,y_0)=\mathbf 0$

è detto punto stazionario della funzione.

Attenzione

Il teorema di Fermat fornisce una condizione necessaria, ma non sufficiente, per l’esistenza di un estremo relativo.

$\displaystyle P_0\text{ estremo relativo} \quad\Longrightarrow\quad \nabla f(P_0)=0.$

In generale non vale l’implicazione inversa.

Un punto stazionario può infatti corrispondere a comportamenti geometrici differenti:

un punto di massimo relativo;
un punto di minimo relativo;
un punto di sella.

Confronto tra punto di massimo relativo, punto di minimo relativo e punto di sella — Tre possibili comportamenti in corrispondenza di un punto stazionario: massimo relativo, minimo relativo e punto di sella.

Interpretazione geometrica

Nel punto di massimo relativo i valori della funzione nelle vicinanze sono inferiori al valore assunto nel punto; nel minimo relativo sono superiori.

In un punto di sella, invece, arbitrariamente vicino al punto si trovano sia valori maggiori sia valori minori di quello assunto nel punto stesso.

Matrice Hessiana

La condizione $\nabla f(P_0)=0$ permette di individuare i punti stazionari, ma non consente da sola di stabilirne la natura.

Per classificare un punto stazionario utilizziamo quindi le derivate seconde.

Definizione

Matrice Hessiana

La matrice Hessiana di $f$ nel punto $(x,y)$ è

$\displaystyle H_f(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx}(x,y) & f_{xy}(x,y)\\[2mm] f_{yx}(x,y) & f_{yy}(x,y) \end{pmatrix}.$

Se $f\in C^2$ , per il teorema di Schwarz vale

$\displaystyle f_{xy}=f_{yx},$

e quindi la matrice Hessiana è simmetrica:

$\displaystyle H_f(x,y) = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}.$

Il determinante della matrice Hessiana è

$\displaystyle \det H_f(x,y) = f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y) - f_{xy}(x,y)f_{yx}(x,y).$

Nel caso $f\in C^2$ ,

$\displaystyle \det H_f(x,y) = f_{xx}(x,y)f_{yy}(x,y) - f_{xy}^2(x,y).$

Criterio dell’Hessiana

Sia $P_0=(x_0,y_0)$ un punto stazionario di $f$ , cioè

$\displaystyle \nabla f(P_0)=0,$

e supponiamo che $f\in C^2$ in un intorno di $P_0$ .

Poniamo

$\displaystyle D=\det H_f(P_0).$

Criterio dell’Hessiana

La natura del punto stazionario può essere determinata nei seguenti casi.

1. Minimo relativo stretto

$\displaystyle D>0 \qquad\text{e}\qquad f_{xx}(P_0)>0$

implicano che $P_0$ è un punto di minimo relativo stretto.

2. Massimo relativo stretto

$\displaystyle D>0 \qquad\text{e}\qquad f_{xx}(P_0)<0$

implicano che $P_0$ è un punto di massimo relativo stretto.

3. Punto di sella

$\displaystyle D<0$

implica che $P_0$ è un punto di sella.

4. Caso inconcludente

$\displaystyle D=0.$

In questo caso il criterio dell’Hessiana è inconcludente.

Osservazione

Nel caso $D>0$ , le quantità $f_{xx}(P_0)$ e $f_{yy}(P_0)$ hanno lo stesso segno.

Si potrebbe quindi utilizzare equivalentemente il segno di $f_{yy}(P_0)$ per distinguere il massimo dal minimo.

Attenzione

Se

$\displaystyle \det H_f(P_0)=0,$

non possiamo determinare la natura del punto mediante il criterio dell’Hessiana.

Questo non significa che sia impossibile classificare $P_0$ : sarà necessario utilizzare un metodo differente, ad esempio studiando direttamente il segno di

$\displaystyle f(x,y)-f(x_0,y_0)$

in un intorno del punto.

Schema per la ricerca degli estremi relativi

Per cercare i massimi e i minimi relativi di una funzione differenziabile possiamo procedere secondo i seguenti passaggi.

1

Calcoliamo le derivate parziali prime:

$\displaystyle f_x(x,y), \qquad f_y(x,y).$

2

Risolviamo il sistema

$\displaystyle \begin{cases} f_x(x,y)=0,\\[2mm] f_y(x,y)=0, \end{cases}$

ottenendo i punti stazionari.

3

Calcoliamo la matrice Hessiana

$\displaystyle H_f(x,y).$

4

Per ciascun punto stazionario $P_0$ calcoliamo

$\displaystyle \det H_f(P_0)$

e applichiamo il criterio dell’Hessiana.

Massimi e minimi assoluti

Passiamo ora dagli estremi relativi agli estremi assoluti.

Definizione

Massimo assoluto

Un punto $P_M\in A$ è un punto di massimo assoluto se

$\displaystyle f(P_M)\geq f(P) \qquad \forall P\in A.$

Minimo assoluto

Analogamente, $P_m\in A$ è un punto di minimo assoluto se

$\displaystyle f(P_m)\leq f(P) \qquad \forall P\in A.$

Differenza rispetto agli estremi relativi

Per un estremo relativo confrontiamo il valore della funzione soltanto con i valori assunti in un intorno del punto. Per un estremo assoluto il confronto avviene invece con tutti i punti del dominio considerato.

Teorema di Weierstrass

Sia $C\subseteq\mathbb{R}^2$ un insieme compatto, cioè chiuso e limitato, e sia

$\displaystyle f:C\longrightarrow\mathbb{R}$

una funzione continua.

Allora $f$ assume in $C$ il proprio massimo assoluto e il proprio minimo assoluto.

In altre parole, esistono

$\displaystyle P_m,P_M\in C$

tali che

$\displaystyle f(P_m) \leq f(P) \leq f(P_M) \qquad \forall P\in C.$

Osservazione

Il teorema di Weierstrass garantisce l’esistenza del massimo e del minimo assoluti, ma non ci dice direttamente in quali punti essi vengano assunti.

Ricerca dei massimi e minimi assoluti

Supponiamo che $f$ sia continua su un insieme compatto $C\subseteq\mathbb{R}^2$ .

Per determinare il massimo e il minimo assoluto dobbiamo confrontare i valori assunti dalla funzione in tutti i possibili punti candidati.

Punti da analizzare

1. Punti stazionari interni

Cerchiamo i punti

$\displaystyle P\in\operatorname{int}(C)$

nei quali

$\displaystyle \nabla f(P)=0.$

2. Punti interni di non differenziabilità

Dobbiamo considerare anche gli eventuali punti interni nei quali la funzione non è differenziabile.

3. Frontiera dell’insieme

Infine dobbiamo studiare i punti appartenenti alla frontiera

$\displaystyle \partial C.$

Una volta individuati tutti i candidati, confrontiamo i valori della funzione:

Passaggio conclusivo

Il valore più grande tra quelli ottenuti sarà il massimo assoluto, mentre il valore più piccolo sarà il minimo assoluto.

Riepilogo

Punto stazionario

$\displaystyle \nabla f(P_0)=0$

Hessiana

$\displaystyle H_f= \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy}\\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$

Minimo relativo

$\displaystyle D>0, \qquad f_{xx}(P_0)>0$

Massimo relativo

$\displaystyle D>0, \qquad f_{xx}(P_0)<0$

Punto di sella

$\displaystyle D<0$

Caso inconcludente

$\displaystyle D=0$

Weierstrass

Se $C$ è compatto e $f$ è continua su $C$ , allora $f$ assume massimo e minimo assoluti su $C$ .

Per gli estremi assoluti

Ricordiamo di controllare: punti stazionari interni, punti interni di non differenziabilità e frontiera.

Massimi e minimi relativi e assoluti per funzioni di due variabili

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Giugno 26, 2020

Massimi e minimi per funzioni di due variabili