Studiare le soluzioni del seguente sistema lineare al variare del parametro k:


Per studiare il comportamento del sistema mi avvalgo del teorema di Rouché – Capelli. Studio quindi il rango della matrice dei coefficienti e della matrice completa.

La matrice dei coefficienti è data da:

Per determinarne il rango analizziamo le sottomatrici 2 \times 2:

 

 

 

 

 

 

 

Quindi:

Studiamo la matrice completa:

Determiniamo è il rango studiando le varie sottomatrici:

Si vede che per k \neq 3 \ \rightarrow \ Rg(A|b)=3.

Per k=3:

Le colonne della matrice sono “linearmente dipendenti” e quindi il Rg(A|b)=1.

Dunque:

Mettendo insieme i risultati ottenuti:

  • per k \neq 3 \ \rightarrow \ Rg(A)=2 \neq 3 = Rg(A|b) \ \rightarrow il sistema è incompatibile;
  • per k = 3 \ \rightarrow \ Rg(A)=1 = Rg(A|b) \ \rightarrow il sistema è compatibile e possiede \infty ^{2-1} soluzioni, cioè \infty ^{1} soluzioni.

Ciò vuol dire che i punti soluzione del sistema formano una retta (la retta ha dimensione \infty).

Significato geometrico dell’esercizio

La prima equazione del sistema rappresenta la retta y=\frac{2}{3}x +\frac{1}{3} .

La seconda equazione rappresenta un fascio di rette di centro \biggr (-\frac{1}{2}, \ 0 \biggl ) .

La terza equazione rappresenta un fascio di rette improprio di rette parallele alla retta y=\frac{2}{3}x .

Per k=3 le tre equazioni coincidono e dunque rappresentano la stessa retta, i cui punti risolvono il sistema.

Per k\neq 3 le tre rette non hanno alcun punto in comune.

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