Data la curva

stabilire se è chiusa, semplice e regolare.


1) Chiusura

Poichè \gamma (0) = \gamma (2\pi) la curva è chiusa.

2) Semplicità

Dobbiamo capire se “un punto materiale che si muova con legge \gamma passa più volte per uno stesso punto”.

Studiamo separatamente il moto del punto materiale lungo l’asse x e lungo l’asse y.

La x cresce tra 0 e \frac{\pi}{2}, poi decresce tra \frac{\pi}{2} e \frac{3}{2} \pi, infine cresce tra \frac{3}{2} \pi e 2\pi.

La y decresce tra 0 e \frac{\pi}{2}, cresce tra \frac{\pi}{2} e \pi, decresce tra \pi e \frac{3}{2} \pi infine cresce tra \frac{3}{2} \pi e 2\pi.

Combinando il moti, nel piano x-y si ha:

Si vede che il punto materiale passa più volte negli stessi punti, ad esempio:

\gamma (\pi) = \gamma (2\pi)=(0,1) .

La curva quindi non è semplice.

3) Regolarità

Vediamo se esistono punti tali che \Vert \gamma'(t)=0 \Vert .

Si vede che per t=\frac{\pi}{2} si ha:

Poichè esiste almeno un punto in (0, 2\pi) tale che \Vert \gamma'(t) \Vert =0, la curva non è regolare.

Osservazione

Si noti che i punti di non regolarità sono quelli di inversione (“brusca”) del moto (in corrispondenza di tali punti il sostegno della curva presenta delle cuspidi).

Il sostegno della curva che abbiamo studiato è dato da:

 

 

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