Studio di una curva

Data la curva

stabilire se è chiusa, semplice e regolare.

1) Chiusura

Poichè $\gamma (0) = \gamma (2\pi)$ la curva è chiusa.

2) Semplicità

Dobbiamo capire se “un punto materiale che si muova con legge $\gamma$ passa più volte per uno stesso punto”.

Studiamo separatamente il moto del punto materiale lungo l’asse $x$ e lungo l’asse $y$ .

La $x$ cresce tra 0 e $\frac{\pi}{2}$ , poi decresce tra $\frac{\pi}{2}$ e $\frac{3}{2} \pi$ , infine cresce tra $\frac{3}{2} \pi$ e $2\pi$ .

La $y$ decresce tra 0 e $\frac{\pi}{2}$ , cresce tra $\frac{\pi}{2}$ e $\pi$ , decresce tra $\pi$ e $\frac{3}{2} \pi$ infine cresce tra $\frac{3}{2} \pi$ e $2\pi$ .

Combinando il moti, nel piano $x-y$ si ha:

Si vede che il punto materiale passa più volte negli stessi punti, ad esempio:

$\gamma (\pi) = \gamma (2\pi)=(0,1)$ .

La curva quindi non è semplice.

3) Regolarità

Vediamo se esistono punti tali che $\Vert \gamma'(t)=0 \Vert$ .

Si vede che per $t=\frac{\pi}{2}$ si ha:

Poichè esiste almeno un punto in $(0, 2\pi)$ tale che $\Vert \gamma'(t) \Vert =0$ , la curva non è regolare.

Osservazione

Si noti che i punti di non regolarità sono quelli di inversione (“brusca”) del moto (in corrispondenza di tali punti il sostegno della curva presenta delle cuspidi).

Il sostegno della curva che abbiamo studiato è dato da:

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Studio di una curva

Pubblicato da Giuseppe Gentile il Febbraio 9, 2020

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