Una funzione f:A (\in \mathbf{R}) \rightarrow \mathbf{R} è una legge che associa ad ogni elemento x dell’insieme A uno e un solo elemento y dell’insieme \mathbf{R}. Scriveremo

o più sinteticamente

La x è detta variabile indipendente; la y è detta variabile dipendente.

Utilizzando un piano cartesiano, i valori della x si trovano sull’asse delle ascisse; i corrispondenti valori di y giacciono sull’asse delle ordinate.

Chiamiamo “Dominio” l’insieme di tutti i valori di x per cui la funzione ha senso; chiamamo ” Immagine di ” l’insieme dei valori di y che vengono assunti dalla funzione:

Utilizzando i diagrammi di Eulero – Venn

Adottando un punto di vista più pragmatico (mi perdonino i matematici), possiamo pensare a un sistema che svolge una funzione f  che riceve in input un valore x e restituisce in output un valore y dipendente dall’input, cioè y=f(x).

Studiare la funzione vuol dire, allora, studiare la relazione che lega gli input agli output.

Lo studio di funzione è composto da 8 punti fondamentali: determinazione del dominio, studio della parità e della disparità, determinazione di eventuali intersezioni con gli assi, studio del segno, ricerca di eventuali asintoti, studio della derivata I, studio della derivata II e tracciamento del grafico della funzione.

Analizziamo il significato fenomenologico di tali punti.

1) Dominio

Il dominio rappresenta l’insieme di tutti i valori che possono essere dati in input alla funzione. Nel piano cartesiano gli input si trovano sull’asse delle ascisse.

2) Parità e Disparità

Studiare la parità e la disparità di una funzione equivale a studiare quello che succede all’output nel momento in cui si cambia il segno al colore dell’input.

In particolare ci interessano due eventualità:

– l’output mantiene inalterato il suo valore in modulo e segno:

In tal caso si dice che la funzione è pari.

– L’output mantiene inalterato il suo valore in modulo ma cambia il segno:

In tal caso si dice che la funzione è dispari.

3) Intersezioni con gli assi

Studiare le intersezioni con gli assi coordinati equivale a vedere se ci sono valori dell’input che producono output nullo (intersezione con l’asse delle x, cioè y=0) e che output si ottiene in corrispondenza di input nullo (intersezione con l’asse delle y, cioè x=0).

Si tratta dunque di risolverli i due sistemi

4) Studio del segno

Studiare il segno della funzione corrisponde a stabilire quai sono gli input che producono output positivi e quali sono gli input che producono output negativi.

Si tratta di risolvere la disequazione

5) Limiti (o Ricerca di Eventuali Asintoti)

Calcolando i limiti vogliamo capire:
  • cosa succede all’output nel momento in cui l’input si avvicina a un valore x_0 escluso dal dominio:

  • cosa succede all’output nel momento in cui l’input diventa infinitamente grande in modulo:

6) Derivata I e relativo studio

Con lo studio della derivata I vogliamo capire quale variazione dell’output è prodotta da una “determinata” (in particolare modo “piccolissima”) variazione dell’input. Le possibilità sono 3:

  • l’output può crescere all’aumentare dell’input (f'(x) \geq 0);
  • l’output può decrescere all’aumentare dell’input (f'(x)\leq 0);
  • l’output può mantenersi costante all’aumentare dell’input (f'(x)=0).
7) Derivata II e relativo studio

Con lo studio della derivata II vogliamo capire come varia la derivata I quando l’input aumenta di una “certa” quantità (“piccolissima”).

Ricordando che, dal punto di vista geometrico, la derivata I della funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto, si ha che:

  • se f''(x) \geq 0 il coefficiente angolare della retta tangente aumenta all’aumentare di x e quindi la funzione volge la concavità verso le y positive;

  • Se f''(x) \leq 0 il coefficiente angolare della retta tangente diminuisce all’aumentare di x e quindi la funzione volge la concavità verso le y negative.

8) Tracciamento del grafico della funzione

Il grafico della funzione è l’insieme di tutte le coppie input – output, cioè l’insieme di tutti i punti (x, y)  tali che x è una valore appartenente al dominio di f e y è il corrispondente output, ossia y=f(x).

Matematicamente:

 


 

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